Функція розподілу ймовірностей. Непереривні випадкові величини.

Щільність ймовірностей.

Функцией распределения (вероятностей) СВ Х называют функцию F(x): F(x) = Р(Х<х). Функция распределения в точке х равна вероятности того, что СВ Х принимает значение меньше х.

Свойства F(x)

1. Функция распределения СВ Х есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: 0 F(x) 1.

2. На минус бесконечности функция распределения = 0: F(- ) = lim F(x)=0.

3. На плюс бесконечности функция распределения =1: F(+ )=1

4. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента: F(x1) F(x2) при х1 х2.

Непрерывная СВ – случайная величина, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка; непрерывно занимает некоторый промежуток.

Задается функцией распределения и функцией плотности.

Плотностью распределения (плотностью вероятности или просто плотностью) непрерывной СВ называется производная ее функции распределения: (x)=f(x) или F(x) =

1. Плотность вероятности –неотрицательная функция: f(x) 0

2. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности НСВ равен 1:

3. Площадь под кривой распределения f(x) равна 1.

Для любой СВ: Р(а<X<b)= F(b)-F(a).

Для НСВ: P(a<X<b)= .

Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:

М(Х) =

причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.

Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:

Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).

Числові характеристики ВВ. Математичне сподівання та дисперсія.

Моменти випадкових величин і їх властивості.

Математическое ожидание СВ – это среднее значение СВ или точка на числовой оси, вокруг которой группируются все возможные значения СВ.

Физический смысл - «центр тяжести», «центр масс» М(х) = М[х] = m

Для ДСВ: m = Для НСВ: m =

Свойства мат. ожидания:

1)Мат.ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине М[С]=С

2)Постоянный множитель можно выносить за знак мат.ожидания: М[кХ] = к М[Х]

3)Мат.ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их мат.ожиданий: М[X+Y]= М[X] М[Y]

4) Мат.ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий: М[X Y]= М[X] М[Y]

5)Если все значения СВ увеличить (уменьшить) на постоянную величину С, то на эту же постоянную величину С увеличится (уменьшится) и ее мат.ожидание: М[X Y]= М[X] С

6)Мат.ожидание отклонения СВ от ее мат.ожидания равно 0: М[X- М(X)]= М[ ]=0

Дисперсией СВ Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от мат.ожидания. D(х) = D[х] = D D(х) = M[(x-a) ], a= М[X]

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением СВ Х называется арифметическое значение корня из ее дисперсии

ДСВ: D = НСВ: D =

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна 0: D[C]=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D[kX]=k D[X]

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D[X+Y]= D[X] + D[Y]

4. Дисперсия СВ равна разности мат.ожидания квадрата СВ и квадрата ее мат.ожидания: D[X]= М[X ]-(М[X])

Начальный момент к-го порядка – математическое ожидание к-ой степени этой величины: ДСВ: НСВ:

Центральный момент к-го порядка СВ Х – математическое ожидание к-ой степени отклонения СВ Х от ее мат.ожидания = М[x ] = М[(X-m ) ]

ДСВ: = НСВ: =

Мода (Пирсон, 1894) – наиболее часто встречающееся (самое модное) значение переменной. Например, модный цвет платья или песня на радио, т.е. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

Нормальний, рівномірний та показниковий (експоненціальний) закони

Розподілу.

Равномерное распределение - непрерывная величина, принимающая значение из некоторого интервала, ни одно из значений которого не является более вероятным.

Функцией плотности распределения непрерывной случайной величины X называют функцию f (х)— первую производную от функции распределения F(х):

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна 0 вне его:

Кривая распределения равномерного закона R(a,b)

Функция распределения случайной величины Х, распределенная по равномерному закону на отрезке [a,b]

M[x] = D[x] = , A_ss = 0, E_x = -1.2

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называют определенный интеграл:

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения X принадлежат отрезку [a,b], то:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу [а, b], равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: P(a < X < b) =

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью:

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: m и σ.

М (X) = m, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру m.

Изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если m возрастает, и влево, если m убывает.

С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Функция распределения нормального закона с параметрами N(m,σ) равна

Для нормального распределения матожидание равно моде и медиане

Нормально распределенная с параметрами т и s случайная величина практически всегда принимает значения из промежутка (т – 3s; т + 3s).

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х,с параметром , которое описывается плотностью

M(x) = , D_x =

Функция распределения плотности экспоненциального закона

Вероятность попадания случайной величины в интервал [a,b]: