Поняття півкільця, кільця, s-алгебри

 

Означення 3.6.1. Система множин Á називається півкільцем, якщо вона містить порожню множину, перетин будь яких множин з Á, а також, якщо Á, , то знайдуться попарно неперетинні множини такі, що

. (3.6.1)

Означення 3.6.2. Непорожня система множин Â називається кільцем, якщо вона разом з будь-якими множинами Â містить їх об’єднання, перетин і різницю.

Будь-яке кільце є півкільцем. Дійсно, так як Â- не порожня множина, то існує Â, отже Â, і очевидно виконується умова (3.6.1): достатньо взяти .

Множина системи множин називається одиницею системи Á, якщо до будь-якої множини з цієї системи

Приклади.

1. Нехай довільна множина, система множин є кільце.

2. Нехай довільна множина, система усіх підмножин множини є кільце.

3. У прикладах 1,2 множина є одиницею кільця.

4. Множина усіх відрізків є півкільце. Дійсно порожня множина є інтервал , перетин двох відрізків є відрізок і різниця двох відрізків є або відрізок або сума двох відрізків. Проте множина усіх відрізків не буде кільцем тому, що сума двох неперетинних відрізків не є відрізком.

5. Множина усіх елементарних множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 – 4 елементарних множин. Одиниці немає, оскільки немає елементарної множини, що містить усі інші елементарні множини.

6. Множина усіх елементарних множин, що містяться у деякому сегменті , є кільце. Сегмент є одиниця кільця.

7. Множина усіх вимірних за Лебегом множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 – 4 вимірних множин. Одиниця кільця є множина .

8. Множина усіх обмежених і вимірних за Лебегом множин із буде кільце без одиниці тому, що необмежена множина.

 

 

Означення 3.6.3. Кільце Â називається s-кольцом, якщо Â разом з послідовністю містить їх об’єднання .

Означення 3.6.4. -кольцо Âз одиницею називається s-алгеброю.

Теорема 3.6.1. -алгебра Â разом з послідовністю містить їх перетин .

Доведення. Нехай одиниця s-алгебри Â і - довільна послідовність множин із Â. Внаслідок співвідношень двоїстості . Оскільки Â є s-алгеброю, то права частина належить Â, отже і належить Â.

Завдяки цієї теореми s-алгебру ще називають d-алгеброю.

Зауваження 2. Внаслідок означення 3.5.4 і завдяки властивості 8 вимірних множин, множина усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у деякому інтервалі , буде s-алгеброю, одиниця якої є інтервал .

Означення 3.6.5. Нехай Ã довільна система множин. Мінімальною (або найменшою) s-алгеброю, що містить систему множин Ã, називається перетин усіх s-алгебр, що містять систему множин Ã.

Мінімальна s-алгебра існує. Нехай і Â(X) - s-алгебра усіх підмножин множини X. Перетин усіх s-алгебр, що містяться у Â(X) і містять систему множинÃ, і буде мінімальною s-алгеброю.

Означення 3.6.6. Мінімальна s-алгеброю, що містить систему усіх інтервалів, називається борельовою, а множини, що належать борельовою s-алгебри, називається борельовами множинами.

Означення 3.6.7. Борельовами множинами відносно множини називається перетин , де довільна множина.

Зауваження 3. Із зауваження 1 і означення відносно борельових множин випливає, що s-алгебра борельових відносно деякому інтервала , буде частиною s-алгебри усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у інтервалі .

Зауваження 4. Так як s-алгебра усіх вимірних за Лебегом множин містить усі інтервали, то із означення s-алгебри борельових множин, як мінімальної s-алгебри, що містить усі інтервали, випливає, що кожна борельова множина вимірна за Лебегом. Більш того потужність множини усіх борельових множин є континуум, а потужність множини усіх вимірних за Лебегом множин більша за континуум.

3.7. Поняття вимірної множини в

 

Означення 3.7.1. Паралелепіпедом в просторі будемо називати множину точок , координати яких задовольняють умови:

¥ Ŧ , де символи ¥, Ŧ незалежно один від одного приймають значення < або , і .

Зокрема умови , визначають звичайний паралелепіпед, а умови , - відкритий паралелепіпед.

Очевидно, що перетин паралелепіпедів є паралелепіпед, умова , визначає порожню множину, різницю двох паралелепіпедів можливо зобразити як об’єднання скінченної множини неперетинних паралелепіпедів, отже множина усіх паралелепіпедів є півкільце.

Означення 3.7.2. Елементарними множинами в будемо називати будь-ялі скінченні об’єднання попарно неперетинних паралелепіпедів. Зокрема, будь-який паралелепіпед – елементарна множина.

Отже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і паралелепіпеди попарно не перетинаються.

Означення 3.7.3. Мірою будь якого паралелепіпеду називається його об’єм. Позначається міра символом .

Тобто незалежно від того, чи буде паралелепіпеду замкнутим, або відкритим, або не містить деякі свої грані . Зокрема, міра паралелепіпеду меншої вимірності і міра порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.7.4. Мірою будь якої елементарної множини називається сума об’ємів паралелепіпедів , тобто .

Властивості міри елементарних множин такі, як і в одномірному випадку. Тому і продовження міри за Лебегом здійснюється аналогічно.

В загалі, якщо визначена міра на деякому півкільці Á, розглядається кільце Â усіх скінченних об’єднаннь , де Á і продовжується міра спочатку на кільце Â, а потім і на більш широке кільце вимірних множин.

 

Узагальнення поняття вимірності в

Нехай деяка неспадаюча неперервна зліва функція, що задана на сегменті . Покладемо , , , . Маючи міру на будь-якому відрізку, визначимо спочатку міру до будь-якої елементарної множини , а потім користуючись її адитивністю продовжимо за Лебегом на більш широку s-алгебру вимірних множин. Цю міру називають мірою Лебега-Стільтьєса і позначають символом . У випадку, коли , вона збігається з мірою Лебега.

Можливі наступні три випадки.

1. Дискретна міра. В цьому випадку функція кусково-стала. Тобто існує скінченна множина точок таких, що . Міра будь-якого відрізку дорівнює . Можливо розглянути функцію , що має зчисленну множину точок розриву.

2. Абсолютно неперервна міра. Вона визначається функцією такою, що , якщо міра Лебега множини дорівнює нулю. Ця міра визначається так званими абсолютно неперервними функціями, які будемо розглядати пізніше.

3. Сингулярна міра. В цьому випадку міра будь-якої скінченної множини дорівнює нулю, проте існує множина така, що міра Лебега множини дорівнює нулю а .

Приведемо приклад такої міри. Розглянемо інтервали , що є складовими інтервалами канторової відкритої множини . Відомо, що , де , . Будь-яка точка канторової замкнутої множини має вигляд , де . Значок означає, що подано у трійковий системи числення. Для будь-якого визначимо , де значок означає, що цій дріб подано у двійковий системи числення. У лівому кінці інтервалу функція приймає значення: , а у правому теж саме значення: . Визначимо функцію на кожному інтервалі рівною спільному значенню її на кінцях інтервалу. Властивості функції .

1.

2. Функція не спадає на сегменті . Дійсно, якщо , то , де довільне натуральне число. Отже, .

3. Функція неперервна на сегменті . Припустимо, що це так. Тоді знайдеться точка така, що . Тоді, внаслідок того, що функція не спадає, будь-яке число функція не приймає. Запишемо його у двійковий системі числення: . Тоді функція у точці , де приймає значення . Одержана суперечність спростовує припущення.

Покажемо, що функція породжує сингулярну міру. Перш за все, в силу неперервності у кожній точки , . Отже, завдяки адитивності міри , міра будь-якої скінченної або зчисленної множини дорівнює нулю. Очевидно також, що , а = 0 тому, що , бо функція на кінцях кожного інтервалу приймає рівні значення. Нагадаємо, що звичайна міра Лебега .

Функція називається канторової сингулярною функцією. Пізніше цю функцію будемо розглядати у зв’язку з іншими задачами.

Зауважимо, що в загальному випадку міра може визначатися як сума розглянутих мір.

Загальне поняття міри

Нехай Â(X) - деяка s-алгебра підмножин множини X. Дійсна функція m множини називається мірою, якщо вона визначена на Â(X), приймає невід’ємні значення і s-адитивна, тобто

1. Â(X).

2. .

3. до будь-якої скінченної або зчисленної системи множин Â(X).

Пара (X, Â(X)) називається вимірним простором, а трійка (X, Â(X),m), де міра m визначена на s-алгебрі Â(X), називається простором з мірою. Зокрема, якщо міра m нормована умовою , то трійка (X, Â(X),m)називається ймовірнісним простором, а елементи s-алгебри Â(X) - подіями.

ГЛАВА IY

ВИМІРНІ ЗА ЛЕБЕГОМ ФУНКЦІЇ

 

Означення вимірної функції.

Означення 4.1.1 Функцією заданою на множені називається правило або закон по якому кожному елементу поставлено у відповідність число .

Це відоме означення функції. Доповнимо його – будемо надалі вважати, що функція може приймати і нескінченні значення і . Це можливо мотивувати наступним прикладом. Нехай частинні суми функціонального ряду в точці прямують до , якщо . Логічно визначити, що сума цього ряду в точці дорівнює , тобто .

При цьому правила дії над цими «невласними» числами і звичайними числами визначаються так, щоб операція суми і добутку були комутативні і асоціативні. При цьому сума і різниця нескінченнності і звичайного числа дорівнює нескінченності того же знаку, добуток нескінченності на число, що не дорівнює нулю, а також добуток нескінченності на нескінченність, дорівнює нескінченності, знак якої визначається як і до добутку чисел, добуток нескінченності на нуль є нуль. Частка довільного числа і нескінченності є нуль. Сума нескінченностей одного знаку дорівнює нескінченності того же знаку. Різниця нескінченностей різних знаків є нескінченність зі знаком зменшуваного.

Не мають сенсу сума нескінченностей різних знаків, різниця нескінченностей одного знаку, частка нескінченностей.

Надалі вважаємо, що функція задана на вимірній множині , що належить деякій s-алгебри Â вимірних множин, можливо, ради простоти можливо уважати, що вимірна за Лебегом обмежена підмножина . При цьому будемо уважати, що якщо на s-алгебри Â введена міра, то вона задовольняє наступну вимогу: будь-яка підмножина множини Â, міра якої дрівнює нулю, є вимірною і міра її теж нуль. Множини вимірні за Лебегом задовольняють цю вимогу.

Введемо позначення: , де довільне дійсне число. Аналогічно визначаються множини ,

і .

Означення 4.1.2. Функція , що задана на вимірній множені називається вимірною, якщо для будь-якого вимірна множина .

Теорема 4.1.1 (Критерій вимірності). Для того щоб функція була вимірною необхідно і достатньо щоб для будь-якого вимірними були множини , , .

Доведення. Нехай функція вимірна. Зобразимо множину у вигляді

.

Дійсно, якщо , то для будь-якого : і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то . Спрямувавши в , одержимо , слід елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина - вимірна.

Вимірність множин , випливає із рівностей:

, .

Нехай для будь-якого вимірна множина . Множину можливо зобразити у вигляді

.

Дійсно, якщо , то знайдеться натуральне число таке, що і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то знайдеться натуральне число таке, що . А тоді і отже елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина - вимірна.

Нехай для будь-якого вимірна множина . Тоді вимірне доповнення до множини , тобто вимірна множина . Якщо вимірна для будь-якого множина , то вимірне доповнення цієї множини до множини , тобто вимірна множина .

Теорема доведена.

 

Приклади вимірних функцій

1. Функція - вимірна.

Дійсно

2. Функція називається простою, якщо множину можливо зобразити у вигляді об’єднання скінченної або зчисленної множини вимірних попарно неперетинних множин таких, що .

Будь-яка проста функція вимірна. Це випливає із вимірності функції на кожній множині і з рівності .

3. Функція , що визначена і неперервна на сегменті , є вимірною. В даному прикладі .

Покажемо, що множина замкнена для будь-якого . Нехай гранична точка множини . Тоді існує послідовність така, що коли . Спрямувавши до нескінченності, з нерівності і неперервності функції , одержимо . Отже множина замкнена і тому є вимірною. Завдяки критерію вимірності функція є вимірною.