Достаточное условие экстремальности точки

Если в точке х ₀:

а) производная равна нулю или не существует;

б) при переходе через точку изменяется знак производной, то точка х ₀ - экстремальная.

Если производная изменяет знак с плюса на минус, то точка х₀ - точка максимума, если с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Функция у = f(x) называется выпуклой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂, принадлежащих интервалу (а, в), и любого a Î (0, 1) выполняется неравенство: .

Функция у = f(x) называется вогнутой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂ Î (а, в) и любого a Î (0, 1) выполняется неравенство:

.

Точка х₀ называется точкой перегиба, если она отделяет интервал, на котором функция выпукла, от интервала, на котором функция вогнута.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции:

если вторая производная на интервале (а, в), то функция у = f(x) - выпукла (вогнута) на (а, в).

Достаточное условие для точки перегиба:

если в точке х₀ вторая производная или не существует и при переходе через точку х₀ изменяет свой знак, то точка х₀ - точка перегиба.

Асимптоты

Пусть точка А, перемещаясь по графику функции устремляется в бесконечность, если при этом расстояние между точкой и некоторой прямой стремятся к нулю, то эта прямая называется асимптотой.

Вертикальная асимптота.

 

 

Для того, чтобы прямая х = а была вертикальной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) б)

Наклонная асимптота

 

Условия существования наклонной асимптоты

Для того, чтобы прямая у = kх + в была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) б) .

При этом

.

План исследования функции:

1. Область определения функции.

2. Четность (нечетность) функции.

3. Периодичность.

4. Точки пересечения с осями.

5. Монотонность. Экстремальные точки.

6. Выпуклость (вогнутость) функции. Точки перегиба.

7. Асимптоты.

ЗАДАЧА № 8

Провести полное исследование функции и построить график.

1. Область определения: (х - с)² - 3 ¹ 0; (х - с)² ¹ 3; х - с ¹ ± Ö3.

Следовательно, .

2. Точки пересечения с осями:

а) ось ОУ:

б) ось ОХ: y = 0 .

Поскольку решение кубического уравнения с параметрами выходит за пределы курса, то находить точки пересечения с осью ОХ не будем.

3. Четность, нечетность функции:

Рассмотрим и убедимся, что , функция не является нечетной, и - функция не является четной.

4. Функция не является периодической.

5. Монотонность, экстремальные точки:

Находим производную: .

Приравниваем производную к нулю: .

Отсюда находим три решения: х₁ = с - 3, х₂ = с, х₃ = с + 3.

Составляем таблицу:

х	f¢(x)	f(x)
(-¥, c - 3)	+	ì
c - 3	0		Точка максимума
(c - 3, c - √3)	-	î
c - √3	Не определена	Не определена
(c - √3, c)	-	î
c	0	в
(c, c + √3)	-	î
c + √3	Не определена	Не определена
(c + √3, c + 3)	-	î
c + 3	0		Точка минимума
(c + 3, +¥)	+	ì

6. Точки перегиба. Выпуклость, вогнутость функции.

Находим вторую производную: .

Приравниваем ее к нулю: 6а(х - с)((х - с)² + 9)=0; ((х - с)² - 3)³ ¹ 0.

Получаем единственное решение х = с и составляем таблицу:

х	f¢(x)	f(x)
(-¥, c - √ 3)	-
c - √3	Не определена	Не определена
(c - √3, c)	+
c	0	в	Точка перегиба
(c, c + √3)	-
c + √3	Не определена	Не определена
(c + √3,+¥)	+

7. Асимптоты.

Вертикальные.

Поскольку знаменатель обращается в нуль при х = c - √3 и х = c + √3, а числитель нет, то вертикальные прямые х = c - √3 и х = c + √3 - вертикальные асимптоты.

Наклонные.

Отсюда, прямая у = ах + (в - ас) - наклонная асимптота.

ПОЯСНЕНИЕ

Вариант выбирается по двум последним цифрам зачетки:

- если последние две цифры образуют число, меньшее пятидесяти, то номер

варианта совпадает с этим числом. Например, последние две цифры 48 –

вариант 48;

- если последние две цифры образуют число, большее или равное пятидесяти, то номер варианта равен разности между этим числом и пятьдесят. Например,

последние две цифры 61 - вариант 11.

Таблица