Разложение определителя по строке (столбцу)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИГНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждена на заседании кафедры ИСС 19 сентября 2002 года

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Методические указания и

контрольные задания № 1

для студентов заочной ускоренной формы обучения

Ростов-на-Дону

Г.

УДК 512.8 (08)

 

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Интегральное исчисление. Методические указания и контрольные задания №1 для студентов заочной ускоренной формы обучения. – Ростов – на - Дону: РГСУ, 2004.- 42 c.

 

Методические указания содержат методы решения заданий. Приведены необходимые теоретические сведения. Изложение сопровождается подробным решением типичных примеров.

Предназначена для студентов заочной формы обучения специальности ЗПГС, ЗМ, ЗЭУН.

 

Составитель: канд. физ – мат. наук, А.Е. Богданов

Рецензент: д-р физ. - мат. наук, проф. М.Г. Селезнев

 

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2004 г., поз. 90

ЛР 020818 от 13.01.99. Подписано в печать 23.03.04. Формат 60х84/16

Бумага белая. Ризограф. Уч. – изд. л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 

 

ã РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2004

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определителем второго порядка называется выражение

. (1)

Разложение определителя по строке (столбцу)

Разложение определителя по i- ой строке (i = 1, 2, 3):

. (2)

Разложение определителя по j -му столбцу(j = 1,2,3): . (3)

В формулах (2) и (3) А_ij - алгебраические дополнения, которые вычисляются по формуле:

, (5)

где первый сомножитель определяет знак выражения, например

(-1)¹⁺³ = (-1)⁴ = 1, второй - определитель второго порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, например,

.

Разложение по первой строке:

,

а разложение по второму столбцу:

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

Система линейных уравнений: (4)

В (4) х₁,х₂,х₃ - неизвестные, которые необходимо определить, а_i,_j - коэффициенты при неизвестных, в_i - свободные члены.

Определитель системы: т. е. определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Если определитель системы D¹0, то система имеет единственное решение при любых правых частях, которое может быть найдено по формулам Крамера:

, (7)

где D₁ - определитель, который получается из D заменой первого столбца на столбец правых частей, D₂ - заменой второго столбца, D₃ - третьего столбца, так

, .

ЗАДАЧА № 1

Решить систему линейных уравнений:

Вычисляем:

;

- - ;

;

;

.

Скалярное и векторное произведение двух векторов.

Смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение вектора на вектор , определяется соотношением:

× = . (6)

Например, × = 3 * (-1) + 1 * 2 + 4 * 1 + 0 * (-4) = 3.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. . (7)

Длина вектора: . (8)

Например, .

Косинус угла между векторами определяется формулой:

. (9)

Векторы называют ортогональными, если * = 0 (т. е. Cosj = 0).

Координаты вектора вычисляются по формуле:

, (10)

где А(а₁, а₂, а₃) и В(в₁, в₂, в₃).

Проекцией вектора на вектор называется произведение длины вектора на косинус угла между векторами и , и обозначается .

Векторное произведение - это вектор, который вычисляется по формуле

= (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃);

. (11)

Разлагаем определитель по первой строке:

;

.

Свойства:

1.

2. ,

3. ,

4. . (12)

Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Смешанное произведение трех векторов = (а₁, а₂, а₃), = (в₁, в₂, в₃),

= (с₁, с₂, с₃) определяется выражением: . (13)

Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

ЗАДАЧА № 2

В треугольнике АВС (А (0, -1, 1), В(а, 0, 3) и С(1, в -1, 0)) найти косинус угла А, площадь треугольника АВС.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

ЗАДАЧА № 3

Найти объем пирамиды

SАВС (S(-1, 1, 0), А(а-1, 2, 2), В(1, 0, с), С(0, в+1, -1)).

1. ;

2. ;

3. .

МАТРИЦЫ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

размера m * n.

а_ij - элемент матрицы А, который расположен в i -й и j - й строках,

например, а₃₁ = 1.

Умножение матрицы на число. Сложение, вычитание матриц

Произведение матриц

Пусть С = А * В. Элемент С_{i j} матрицы произведения вычисляется в результате скалярного произведения i - й строки матрицы А на j - й столбец матрицы В. Предполагается, что число элементов строки матрицы А совпадает с числом элементов столбца матрицы В, т. е. число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В.

Замечание: А*В, вообще говоря, не равно В*А (А*В В*А).

Размер произведения определяется числом строк первого множителя и числом столбцов второго.

ЗАДАЧА № 4

Для матриц:

, в = вычислить матрицу ,

АВ и обратную к ней. Решить уравнение Сх=в матричным способом.

1. Вычислим: = ;

2. Вычислим: ;

 

3. Вычислим: .

Если çС ç¹ 0, то матрица имеет обратную.

; ; ;

; ; ;

; ;

.

4. Решение уравнения Сх=в записывается следующим образом: х= в, т.е. .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Прямая в R²

X2

L

А(а1а2)

Общим уравнением прямой

является уравнение вида

М(х1х2)

А₁х₁ +А_2­х₂+В=0. (14)

j

X1

Если А₂ ¹0, то, разрешая (14)

относительно х₂ ­, получим

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

. (15)

Геометрический смысл числа k состоит в том, что k = tgj, где j - угол, образованный L с положительным направлением оси ОХ₁. У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂). У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку А(а₁, а₂), записывается в виде: х₂ - а₂ = k(х₁ - а_1­). (16)

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(а₁, а₂) и В(в₁, в₂), имеет вид: . (17)

ЗАДАЧА № 5

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(а, в), В(в, с), С(с, а).

Найти: 1) уравнение стороны ВС;

2) уравнение медианы АМ;

3) уравнение высоты, опущенной из вершины А.

1. Уравнение стороны ВС: .

2. Уравнение медианы АМ: найдем координаты точки М : . Теперь напишем уравнение медианы АМ: .

3. Уравнение высоты АН: найдем угловой коэффициент прямой ВС: .

Так как прямая ВС перпендикулярна АН, то угловой коэффициент прямой АН

. Тогда уравнение высоты имеет вид: .

ДИФФЕРЕНЦИАНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Предел функции

Обозначение: . Читается - предел функции f(x) при х, стремящемся к а. Определение на языке e, d.

Число А называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа e существует положительное число d, такое, что из неравенства следует .

Бесконечно большая функция

Пусть и в окрестности точки а, тогда функция называется бесконечно большой функцией. Обозначается .

Если функция f(x) - бесконечно большая и f(x)¹ 0 в окрестности точки а, то - бесконечно малая функция. Условные обозначения: .

Как понимать х ® + ¥, х ® - ¥ и х ® ¥? Будем говорить, что х ® + ¥, если х может стать больше любого наперед заданного числа, х ® - ¥, если х может стать меньше любого наперед заданного числа, х ® ¥, если абсолютная величина х может стать больше любого наперед заданного числа.

Свойства пределов:

1. Предел суммы функций, состоящий из конечного числа слагаемых, равен сумме пределов.

2. Предел произведения равен произведению пределов.

3. Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя неравен нулю.

Например, если и , то

а) ;

б) ;

в) .

Неопределенности. Неопределенность

Рассмотрим вычисление . Подставим вместо х предельное значение 1: . Эта ситуация называется неопределенностью . Для того, чтобы вычислить , разложим знаменатель на множители

х²-1=(х-1)*(х+1), и подставим в выражение .

Рассмотрим вычисление . При стремлении х к бесконечности, многочлены в числителе и знаменателе стремятся к бесконечности, и возникает неопределенность вида . Для того, чтобы вычислить , вынесем х² в числителе и знаменателе за скобки

= .

Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется выражение .

Следствия из первого замечательного предела:

1) ; 2) ; 3) .

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется выражение

или где е - математическая константа, приблизительно равна 2, 71.

Следствия их второго замечательного предела:

ЗАДАЧА № 6

Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4.

.

Производная функции

Производной функции f(x) называется предел .

Для производной используют и другие обозначения - .

Правила дифференцирования

Пусть U и V - дифференцируемые функции, т. е. для них существуют производные, с - константа.

1. (с)¢ = 0;

2. (U + V)¢ = U¢ + V¢;

3. (UV)¢ = U¢V + UV¢;

4. (CU)¢ = CU¢;

5. ;

6. Пусть f(x) - дифференцируемая функция, тогда .

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от производной, производной третьего порядка называется производная от производной второго порядка и т. д.

Производная неявной функции

Говорят, что функция y = f(x) задана неявно, если она задана в виде уравнения f(x, y) = 0, неразрешенного относительно у. Например, х₂ + у₂ = ху. Для того, чтобы вычислить поступают следующим образом:

а) дифференцируют левую и правую части уравнения по переменной х, при этом переменную у считают функцией от х, например,

(х² + у²)_х¢ = (ху)_х¢; 2= + 2у * у¢ = у + ху¢.

б) решают полученное уравнение относительно у¢, например,

2у * у¢ - х у¢ = у + 2х; у¢ (2у - х) = у + 2х; .

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНУЦИИ

Дифференциалом функции y = f(x) (обозначается dy, df(x)) называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Если у функции y = f(x) существует неравная нулю производная, то

d f(x) = f¢(x)Dx. Например,

Основные свойства дифференциала:

1. dc = 0;	4. d(UV) = dU * V + U * dV;	7.
2. dx = Dx;	5. d(U ± V) = dU ± dV;
3. d(cU) = cdU;	6.

ЗАДАЧА № 7

1. Вычислить производную: ;

2. Вычислить производную второго порядка: ;

3. Найти производную функции, заданной неявно: ;

4. Найти производную функции, заданной параметрически: ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. Þ .

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей (убывающей), если из х₁ < х₂ следует, что f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если для любого х Î (а, в) f¢(x) > 0 (f¢(x) < 0), то f(x) возрастает (убывает) на (а, в).

Экстремальные точки функции

Точка х ₀ называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если существует d>0, такое, что из х Î (х₀ -d, х₀ +d), х¹ х ₀ следует

f(x)< f(x₀) (f(x) > (x₀)).

Наклонная асимптота

 

ЗАДАЧА № 8

Провести полное исследование функции и построить график.

1. Область определения: (х - с)² - 3 ¹ 0; (х - с)² ¹ 3; х - с ¹ ± Ö3.

Следовательно, .

2. Точки пересечения с осями:

а) ось ОУ:

б) ось ОХ: y = 0 .

Поскольку решение кубического уравнения с параметрами выходит за пределы курса, то находить точки пересечения с осью ОХ не будем.

3. Четность, нечетность функции:

Рассмотрим и убедимся, что , функция не является нечетной, и - функция не является четной.

4. Функция не является периодической.

5. Монотонность, экстремальные точки:

Находим производную: .

Приравниваем производную к нулю: .

Отсюда находим три решения: х₁ = с - 3, х₂ = с, х₃ = с + 3.

Составляем таблицу:

х	f¢(x)	f(x)
(-¥, c - 3)	+	ì
c - 3	0		Точка максимума
(c - 3, c - √3)	-	î
c - √3	Не определена	Не определена
(c - √3, c)	-	î
c	0	в
(c, c + √3)	-	î
c + √3	Не определена	Не определена
(c + √3, c + 3)	-	î
c + 3	0		Точка минимума
(c + 3, +¥)	+	ì

6. Точки перегиба. Выпуклость, вогнутость функции.

Находим вторую производную: .

Приравниваем ее к нулю: 6а(х - с)((х - с)² + 9)=0; ((х - с)² - 3)³ ¹ 0.

Получаем единственное решение х = с и составляем таблицу:

х	f¢(x)	f(x)
(-¥, c - √ 3)	-
c - √3	Не определена	Не определена
(c - √3, c)	+
c	0	в	Точка перегиба
(c, c + √3)	-
c + √3	Не определена	Не определена
(c + √3,+¥)	+

7. Асимптоты.

Вертикальные.

Поскольку знаменатель обращается в нуль при х = c - √3 и х = c + √3, а числитель нет, то вертикальные прямые х = c - √3 и х = c + √3 - вертикальные асимптоты.

Наклонные.

Отсюда, прямая у = ах + (в - ас) - наклонная асимптота.

ПОЯСНЕНИЕ

Вариант выбирается по двум последним цифрам зачетки:

- если последние две цифры образуют число, меньшее пятидесяти, то номер

варианта совпадает с этим числом. Например, последние две цифры 48 –

вариант 48;

- если последние две цифры образуют число, большее или равное пятидесяти, то номер варианта равен разности между этим числом и пятьдесят. Например,

последние две цифры 61 - вариант 11.

Таблица

№	a	b	c		№	a	b	c

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

Градиентом функции z = f(x, y) в точке М(х₀, у₀) называется вектор grad z, координаты которого равны частным производным функции z = f(x, y), вычисленным в точке М(х₀, у₀)

.

ЗАДАЧА № 9

Найти частные производные функции z = f(x,y):

ЗАДАЧА № 10

ЗАДАЧА № 11

Найти неопределенный интеграл .

=

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ

Метод заключается в том, что вместо переменной x вводят новую переменную, например t. Так, если положить х = j(t), то

Получаемый интеграл должен быть значительно проще данного. В противном случае следует искать другую форму введения новой переменной. Часто переменную t вводят так: t = j(x), а dt = j¢(x)dx. Это удобно, если данное подынтегральное выражение содержит дифференциал j¢(x)dx.

ЗАДАЧА № 12

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 13

Найти неопределенный интеграл .

.

ЗАДАЧА № 14

Найти неопределенный интеграл .

=

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Идея метода состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)dx нужно представить в виде произведения U*dV, где U(x) и V(x) - дифференцируемые функции и воспользоваться формулой .

При этом вновь полученный интеграл должен быть проще данного.

ЗАДАЧА № 15

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 16

Найти неопределенный интеграл .

=

ЗАДАЧА № 17

Найти неопределенный интеграл .

;

При х = а₂₃ получим: а₁₁а₂₃ + а₁₂ = В(а₂₃ - а₁₃).

При х = а₁₃ получим: а₁₁а₁₃ + а₁₂ = А(а₁₃ - а₂₃).

Отсюда

Случай 1

Хотя бы один из показателей - целое положительное нечетное число. Если положительное нечетное число n, то применяется подстановка Sinx = t, если

m - нечетное положительное число, то используется подстановка Cosx = t.

Случай 2

Оба показателя степени m и n - положительные четные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул понижения степени.

ЗАДАЧА № 18

Найти неопределенный интеграл .

=

=

ЗАДАЧА № 12

Найти неопределенный интеграл .

=

=

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция f(x) определена на отрезке [ a, в ]. Разделим отрезок

[ a, в ] на n произвольных частей точками а = х₀ < х₁ < х₂ <... < х_n-1 < х_n = в.

Выберем на каждом элементарном отрезке [ X_k-1, X_k ] произвольную точку С_k, обозначим длину элементарного отрезка через х_k = x_k - x_k-1­.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется сумма вида

.

Определение:

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a, в ] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю .

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

, где F(x) - первообразная функции f(x), т.е. F¢(x) = f(x).

ЗАДАЧА № 20

Вычислить определенный интеграл:

1. ; 2.

 

1. =

2. =

ЗАДАЧА № 21

Найти объем тела вращения

		Х