Напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе

 

При наличии в поперечном сечении балки внутреннего изгибающего момента М_uх смежные поперечные сечения, оставаясь плоскими (гипотеза плоских сечений), поворачиваются относительно друг друга вокруг нейтральной оси сечения (линии пересечения сечения с нейтральным слоем балки), которой в рассматриваемом случае является ось х–х. При этом, в сечении возникают нормальные напряжения s (по одну сторону нейтральной оси – сжимающие, по другую – растягивающие), которые постоянны по ширине сечения, а по высоте изменяются по линейному закону (рис. 4.4):

, (4.3)

где - момент инерции сечения относительно нейтральной оси х–х;

у - расстояние от нейтральной оси до рассматриваемой точки сечения.

Из формулы (4.3) следует, что максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси:

, (4.4)

где – момент сопротивления сечения изгибу относительно оси Х.

Для круглого сечения:

.

Рисунок 4.4 – Распределение нормальных напряжений по поперечному сечению балки при изгибе

 

 

Рисунок 4.5 – Прямоугольное сечение

Для прямоугольного сечения (рис. 4.5):

.

При наличии в поперечном сечении внутренней перерезывающей силы Q_y смежные сечения сдвигаются относительно друг друга в направлении Q_y, что вызывает появление в сечении касательных напряжений t, которые для прямоугольных сечений и составленных из прямоугольников параллельны Q_y, по ширине сечения постоянны, а по высоте изменяются согласно формуле Журавского (рис. 4.6):

, (4.5)

где - статический момент относительно нейтральной оси х–х части поперечного сечения, расположенной выше или ниже уровня у рассматриваемой точки;

b(у) - ширина сечения на уровне рассматриваемой точки;

J_x - момент инерции сечения относительно нейтральной оси х–х.

 

Рисунок 4.6 – Распределение касательных напряжений по прямоугольному поперечному сечению балки при поперечном изгибе

Подбор сечений балок

 

Для большинства встречающихся на практике длинных балок нормальные напряжения значительно выше касательных, поэтому необходимое сечение балок, как правило, находят из условия прочности по нормальным напряжениям, которое для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, имеет вид

. (4.6)

Сечение, полученное из условия прочности (4.6), проверяют по касательным напряжениям (). Проверка эта делается для сечения с максимальной перерезывающей силой. Для тонкостенных (тавровых, двутавровых и коробчатых) балок делается дополнительная проверка по эквивалентным напряжениям () для точек стенки в месте их перехода в полку, где одновременно могут быть значительными как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 4.7). Проверка эта делается для сечений, где одновременно действуют большие внутренние изгибающий момент и перерезывающая сила.

 

а – точки стенки в месте перехода её в полки

Рисунок 4.7 – Эпюры распределения σ и τ в двутавровом сечении при поперечном изгибе

В окрестности точки а (см. рис. 4.7) плоскостями, параллельными координатным, выделим элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.8). По боковым граням этого элемента будут действовать напряжения s_a и t_a. Согласно закону парности касательные напряжения, равные по величине t_a, будут действовать также по верхней и нижней его граням. Нормальные напряжения по этим граням для поперечных сечений, взятых на достаточном удалении от внешних сил, будут равны нулю. Две грани (передняя и задняя) свободны от напряжений. Таким образом, выделенный элемент испытывает плоское напряженное состояние.

 

 

Рисунок 4.8 – К определению эквивалентных напряжений при поперечном изгибе

 

Для данного вида плоского напряженного состояния по III теории прочности (максимальных касательных напряжений)

; (4.7)

по IV теории прочности (энергетической)

. (4.8)

Можно считать, что в рассматриваемом случае s_экв - это условное нормальное напряжение в рассматриваемой точке сечения, которое в ее окрестности создает напряженное состояние равноопасное тому, которое создают одновременно реально действующие в ней s и t.

 

Пример расчета

 

Для заданной схемы балки (рис. 4.9) построить эпюры внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям подобрать круглое, прямоугольное (с отношением h/b=2) и двутавровое сечения. Для наиболее экономичного сечения произвести полную проверку балки на прочность. Материал балки – Ст. 3.

[ σ ] =160 МПа; [ τ ] =100 МПа.

Определение реакций опор

 

: ;

Н.

: ;

Н.

Проверка: : .

в

б

а

Рисунок 4.9 – Расчетная схема балки (а) и эпюры перерезывающих сил (б) и изгибающих моментов (в)