Построение эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов

 

В рассматриваемом случае внутренними перерезывающими силами и изгибающими моментами будут перерезывающие силы, параллельные оси Y - Q_y и изгибающие моменты вокруг оси X – М_uх.

Прежде чем приступить к построению эпюр, необходимо вычертить в масштабе схему балки со всеми действующими на нее силами и моментами (включая реакции опор), отразивих верные направления.

Перерезывающая сила в поперечном сечении рассматриваемой части балки равна сумме проекций на него всех внешних сил, действующих на отброшенную часть.

Изгибающий момент в поперечном сечении рассматриваемой части балки равен сумме моментов относительно его центра тяжести всех внешних сил и пар сил, действующих на отброшенную часть.

Знаки Q_y и М_uх определяются неих непосредственным направлением, а направлением деформаций, которые они вызывают. При этом для каждого сечения знаки Q_y и М_uх получаются одинаковыми, независимо от того, какая часть балки рассматривается, а какая отбрасывается. На рис. 4.2 изображены возможные варианты сдвига и изгиба балки в каком-то сечении n–n и показаны принимаемые правила знаков.

 

Рисунок 4.2 - К правилам знаков внутренних перерезывающих сил и изгибающих моментов

 

Согласно принятому правилу знаков внешняя сила дает положительную составляющую перерезывающей силы в рассматриваемом поперечном сечении, если она относительно этого сечения создает момент, направленный по часовой стрелке, и отрицательную, если момент силы относительно сечения направлен против часовой стрелки.

Эпюра внутренних изгибающих моментов согласно принятому правилу знаков строится на сжатых волокнах, то есть М_uх в рассматриваемом поперечном сечении откладывается с той стороны балки, где при ее изгибе в этом сечении указанным моментом находятся сжатые волокна.

При этом для горизонтально расположенной балки внешняя сила или пара сил дает положительную составляющую изгибающего момента в рассматриваемом поперечном сечении, если она в этом сечении изгибает балку выпуклостью вниз, т.е. так, что сжатые волокна находятся в верхней части балки, а растянутые - в нижней, и отрицательную, если сила или пара сил в рассматриваемом сечении изгибает балку выпуклостью вверх.

При построении эпюр Q_y и М_uх удобно разделить балку на два участка и для левого участка строить эпюры ходом слева направо, отбрасывая левые и рассматривая правые части балки, а для правого - ходом справа налево, отбрасывая правые и рассматривая левые ее части. При этом значения Q_y и М_uх на стыке обоих участков должны быть одинаковыми или отличаться на величину действующих в сечении стыка внешней силы или внешнего момента (если они имеют место).

 

4.1.3 Проверка правильности построения эпюр Q_y и М_uх на основе дифференциальных зависимостей между q, Q_y и М_uх

 

Построение эпюр Q_y и М_uх можно легко проверить, используя дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Q_y и изгибающим моментом М_uх в конкретном поперечном сечении:

(4.2)

Из курса математического анализа известно, что геометрической интерпретацией производной функции y=f(z) является тангенс угла наклона касательной к графику этой функции (рис. 4.3,а).

При положительных значениях dz (отложенных в сторону положительного направления оси Z) и положительных значениях dy tgα и α положительны; при положительных значениях dz и отрицательных dy tgα и α - отрицательны(рис. 4.3, б).

Если , график y=f(z) имеет вогнутость, обращенную в сторону положительного направления оси y, и наоборот.

a б

Dy - приращение функции; dy – дифференциал функции

 

Рисунок 4.3 – К правилам проверки эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов

Таким образом, q в конкретном поперечном сечении есть тангенс угла наклона касательной к эпюре Q_y=f(z), a Q_y - тангенс угла наклона касательной к эпюре М_uх=f(z) в этом сечении. Кроме того, знак (направление) q определяет направление вогнутости эпюры М_uх. При этом выпуклость эпюры М_uх оказывается обращенной навстречу направлению q.

Отсюда следующие правила проверки эпюр:

- для участка балки c q=0 Q_y=const, т.е. эпюра Q _y должна представлять собой прямую, параллельную оси Z, а эпюра М_uх - наклонную прямую (c положительным наклоном при Q_y>0 и отрицательным при Q_y<0) или прямую, параллельную оси Z, при Q_y=0;

- для участка балки c q=const ¹ 0 эпюра Q_y должна представлять собой наклонную прямую с положительным наклоном, если q>0 (направлена в сторону положительного направления оси y)и отрицательным наклоном, если q<0. Эпюра М_uх на этом участке должна представлять собой параболическую кривую c выпуклостью, обращенной навстречу направлению (стрелкам) q;

-в сечениях, где эпюра Q_y переходит через ноль, эпюра М_uх имеет экстремум: максимум - если эпюра Q_y переходит с положительных значений на отрицательные, минимум - если наоборот;

- в сечении под сосредоточенной силой на эпюре Q_y должен быть скачокна величину и в направлении этой силы, а на эпюре М_uх - резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом);

- в сечении, где приложен внешний изгибающий момент, эпюра М_uх должна иметь скачок на величину этого момента. На эпюре Q_y это не отражается.

Примечание. При проверке правильности построения эпюр по указанным правилам следует перемещаться вдоль балки все время в одном направлении – в направлении оси Z, в рассматриваемом случае – слева направо.