Экстремальные значения выпуклых и вогнутых функций.

1.Если х* - точка локального минимума (максимума) выпуклой (вогнутой) функции f (x) на выпуклом множестве Р Ì Rⁿ то f (x*) – наименьшее (наибольшее) значение f (x) на Р. Если f (x) строго выпукла (вогнута), то х* - единственная точка глобального экстремума.

2.Пусть f (x) – выпуклая (вогнутая) функция на выпуклом множестве Р Ì Rⁿ и пусть grad f (x*)=0. Тогда х* -точка глобального минимума (максимума) f (x) на Р.

Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.

рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования: найти точку глобального максимума вогнутой функции f (x) на выпуклом множестве Р Ì Rⁿ , заданном системой неравенств:

ó g₁(x)³0,

î ……….

ì g _s(x)³0

ì g _s(x)³0

î x³0

где g_1(х),…, g _s(x) – вогнутые функции. для решения вводят функцию Лагранжа F(x,l)= f (x)+l₁ g₁(x)+…+l _s g _s(x), где l=(l_1,…,l _s) – вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и существует точка х³0, для которой все тривиальные неравенства из системы уравнений строгие. Точка х*³0 является точкой глобального максимума f (x) на Р в том случае, когда существует вектор l*=(l*_1,…,l*_s)³0, такой, что выполняются условия:

grad_xF(x*, l*)£0;

(grad_xF(x*, l*);х*)=0

grad_lF(x*, l*)³0

(grad_lF(x*, l*);l*)=0

Эти условия означают, что точка (x*, l*) является седловой точкой функции F(x, l), т.е. F(x, l*)£ F(x*, l*)£ F(x*, l)

 

Числове и функциональные ряды.

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑_к=1^∞ак.

Где а1,…,ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑_к=1^каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится.

Св-ва сходящихся числ. Рядов.

Рассмотрим 2 числ ряда:

а1+а2+…+ак +…=∑_к=1^∞ак. (1)

 

в1+в2+…+вк +…=∑_к=1^∞вк (2)

Опр.

1). Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме соответствующих членов рядов (1) и (2).

2) Ряд, каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда (1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на действительное число λ.

Св-ва.

1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.

Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим:

Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)

2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’.

Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T

3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится.

Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:

Sk = Cn+S’k

Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn

4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

Необходимое усл-е сходимости.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к →∞ равен 0. lim ak=0

Док-во.

1){Sk=a1+a2+…+ak

{Sk-1=a1+a2+…+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1

2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞

3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-1)→∞)

Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится.

Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился.

Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный)

Пусть a₁ + a₂ + … + a_n + = _n=1S^¥ a_n = S_n – числовой ряд, каждый член которого положителен. Такой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным числовым рядом.

S₁ = a₁ > 0, S₂ = a₁ + a₂> 0, {S_n}- возрастающая числовая последовательность

Признаки сходимости положительных числовых рядов.

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частных сумм была ограничена.

 

Признаки сравнения

Пусть заданы два положительных числовых ряда:

u₁ + u₂ + … + u_n + = _n=1S^¥ u_n, u_n > 0 для " n

v₁ + v₂ + … + v_n + = _n=1S^¥ v_n, v_n > 0 для " n

1) Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ v_n – сходится, то и ряд _n=1S^¥ u_{n –} сходится.

Если "n Î N: u_n £ v_n и ряд _n=1S^¥ u_n – расходится, то и ряд _n=1S^¥ v_{n –} расходится.

2) Если $ lim u_n/v_n = k, то ряды либо одновременно сходятся, либо

^{n ® ¥ k = const}

одновременно расходятся.

 

Признак сходимости Даламбера.

Если _n=1S^¥ u_n – положительный ряд, для которого lim u_n+1/u_n = L, то

^{n ® ¥}

1) при L < 1 ряд сходится

2) при L > 1 ряд расходится

3) при L = 1 необходимы дополнительные исследования.

 

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть _n=1S^¥u_n - положительный ряд, для которого 1) u_n= f(n); 2) y = f(x) определена для " x ³ 1, непрерывна и возрастает, тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ₁∫^+¥f(x)dx, причем если он сходится, то

_n=1S^¥ u_n = ₁∫^+¥f(x)dx

Знакопеременные ряды, ряды с комплексными числами.

Знакочередующиеся ряды – ряды, члены которых имеют чередующие знаки.

Теорема Лейбница Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремяться к нулю, когда n®µ,то 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

Доказательство.

Пусть дан ряд а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… и известно, что а_n>a_n+1 для всех n и a_n®0 при n®µ.Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n= а₁-а₂+а₃-а₄+…+a_2n-1-a_2n= (а₁-а₂)+(а₃-а₄)+…+(a_2n-1-a_2n). В силу первого условия все разности в скобках положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n} является возрастающей. Докажем, что она является ограниченной. Для этого представим S_2n в виде

S_2n= а₁-[(а₂-а₃)+(а₄-а₅)+…+(а_2т-1-a_2n-1)+a_2n]. Вы ражение в квадратных скобках положительно, поэтому S_2n<a₁ для любого n, т.е. последовательность {S_n} ограничена.

Итак, последовательность {S_n} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S. Так как S_2n+1=S_2n+a_2n+1, и по

^n®µ

условию lim a_2n+1=0, то lim S_2n+1=limS_2n=S.

^{n®µ n®µ n®µ}

Мы доказали, что ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравентвам 0<S<a₁. Докажем теперь второе утверждение. Рассмотрим остаток ряда а₁-а₂+а₃-а₄+…+(-1)^n-1а_n+… с чётным номером 2k: R_2k=a_2k+1- a_2k+2+… Этот ряд является знакочередующимся и он удовлетворяет всем условиям теоремы, поэтому выполняются оценки 0<R_2k<a_2k+1. Что касается остатков ряда с нечётными номерами, то любой из них можно записать в виде

R_2k+1= -a_2k+2+a_2k+3-…=-(a_2k+2-a_2k+3+…). Ряд в скобках снова удовлетворяет условиям теоремы, поэтому 0<-R_2k+1<a_2k+2 или -a_2k+2< R_2k+1<0. Сходимость ряда вместе с неравенствами 0<S<a_1, 0<R_2k<a_2k+1 и -a_2k+2< R_2k+1<0 полностью доказывает теорему.

Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.

Пусть дан знакопеременный ряд. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Очевидно, что это ряд с положительными членами.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из его членов.

Теорема. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Сумма такого ряда равна разности между суммой его плюс-ряда и суммой минус-ряда.

Доказательство.

Пусть ряд а₁+а₂+…+а_n+… сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+… Обозначим частичные суммы ряда из модулей его членов через T_n. Имеем T_n= T_n⁺+ T_n^- (где T_n⁺ - некоторая частичная сумма плюс-ряда, T_n^- - частичная сумма минус-ряда.) Ввиду сходимоти ряда |a₁|+|a₂|+…+|a_n|+…его частичные суммы T_nограничены некоторым числом С. Тогда следует, T_n1⁺£С и T_n2^-£С, т.е. частичные суммы минус- и плюс-ряда также ограничены сверху числом С. Согласно критерию сходимости рядов с положительными членами отсюда вытекает сходимость плюс- и минус-рядов, т.е. существуют пределы T⁺=lim T⁺_k и T^-=lim T^-_l. Если теперь

^{k®µ l®µ}

из равенства перейти к пределу при n®µ, то получим limT_n=T⁺-T^-, ч.т.д.

^l®µ

Условно сходящиеся ряды.

Ряд а₁+а₂+…+а_n+… называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

(теорема Римана. Если ряд сходится условно, то в результате перестаноски его членов можно получить ряд, имеющий любую сумму, а также расходящийся ряд.)