Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f (x) наз.бесконечно малой при х →х_0, если

и бесконечно большой при х →х₀, если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х →х₀) снова являются бесконечно малыми функциями (при х →х₀).

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова бесконечно малая функция.

Свойства предела функции.

1. Функция f (x) в точке х₀ может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

 

Тогда для любой последовательности { х_n} сходящейся к х₀ (где все х_n≠ х₀), мы должны иметь два предела

 

что невозможно, т.к. последовательность { f (х_n)} может иметь только один предел.

2.Если f (x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U₁=(х₀-ε; х₀+ε), ε>0. Ввиду неограниченности f (x) в этой окрестности должна найтись точка х₁Î U₁, такая что │ f (х₁)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U₂=(х₀-ε/2; х₀+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х₂Î U₂, такая что │ f (х₂)│>2. Продолжив это рассуждение, получим U_n=(х₀-ε/n; х₀+ε/n), f (х_n) > n, х_n → х₀; f (х_n)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (x) ≥b, то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x), то и если пределы существуют.

5. Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f (x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f (x) и h(x) при х→ х₀ существуют и равны между собой

 

 

Арифметические свойства пределов.

 

 

Односторонние пределы.

Опр.Число а называют пределом функции f (x)в точке х₀ справа, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {х_n}, в которой все х_n>х₀, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а.

Аналогично определяют предел функции слева:

Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у= f (x), если хотя бы один из пределов

 

Прямая у=кх+b является наклонной асимптотой графика у= f (x) при х→+∞, если f (x) представима в виде f (x)= кх+b+α(х), где

 

Теорема. Для того чтобы график функции у= f (x) имел х→+∞ наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

 

Монотонные функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х принадл. R¹, если она определена на этом множестве и если для любых значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.

Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.

Замечательные пределы.

1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.

Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при х→0 справа равен 1.

T

M

tgx

 

x

K A

O

MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,

1<x/ sinx<1/cosx

1>sinx/x>cosx

при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое равенство.

2) lim (1+1/x)^x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы выполнялось нер-во:

n ≤ x< n+1 (1)

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим: 1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)ⁿ⁺¹≥ (1+1/x)^x> (1+1/(n+1))ⁿ или f(x) ≥(1+1/x)^x>g(x). При х→+∞,n →+∞, f(x) и g(x)→е. По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)^x →е(при х→+∞), что и т.д.

2) при -∞. Пу сть х=-t, где t>0.

(1+1/x)^x=(1-1/t)-^t =((t-1)/t)^-t =(t/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t =(1+1/(t-1))^t-1 (1+1/(t-1))^x Выражение в правой части →е*1=е при х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.

Формула непрерывных процентов.

К0-исходный капитал.

Р- номинальная процентная ставка.

к- число периодов начисления.

Пусть к=1, тогда К=К0*(1+р/100)

к=2, К=К0(1+р/2*100)²

… к=360, К=К0(1+р/360*100)³⁶⁰ …,т.е. К=К0(1+р/к*100)^к→К0*е^р/100 при к →∞(это случай, если начисление процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов производится на протяжении нескольких лет – t, то, разделив промежуток [0;t] на к равных периодов начисления процентов, получим (к→∞):

К0lim (1+рt/100*к)^к= К0*е^рt/100

К=К0*е^рt/100 -формула непрерывных процентов.