Геометричне застосування визначених інтегралів

Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

(здесь надо нарисовать)

Якщо інтегрована на відрізку а<х<Ь функціяДх) невід'ємна, то визначений інте-ь грал f(x)dx чисельнодорівнює площі Sкриволінійної трапеції

Уточнимо, що криволінійною трапецісю називають фігуру, обмежену графі-ком неперервної функції у = flx), деДх)>0, прямими х — а, х — Ь та віссю ОХ.

Отже, геометричний зміст визначеного інтегралу- це площа криволінійної тра-пеції.

Розглянемо криволінійну трапецію CHKD (див. рис. 2), в якої абсциса точки С рівнах, аточки/)-х+/іх. Графік функціїу = flx) перетинає вісь ОГвточці^. Тоді площа криволінійної трапеції CHKD рівна різниці площ криволінійних трапецій OAKD і ОАНС. (а тут 2 каких-то линий байді)

Невласні інтеграли

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного b Î[a;+¥), так що існує.

Означення: Границя при bà+¥ називається невласним інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) і позначається:

Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), – розбіжним.

Вважаючи, що f(x) – інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

де с=const.

Теорема: Якщо при x ³ a має місце нерівність 0£f(x)£g(x) то із збіжності інтеграла виходить збіжність інтеграла , або із розбіжності випливає розбіжність .

Диференціальні рівняння першого порядку

Означення: Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння.

Лінійні Д.Р. І порядку.

Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)¹0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)º0, то неоднорідним.

 

Рішення лінійного Д.Р. І порядку:

y'+P(x)y=Q(x)

y=uv

y’=u’v+v’u

u’v+v’u+P(x)uv=Q(x)

u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x)

v’+P(x)v=0

u’v=Q(x)

 

 

Диференціальні рівняння з відокремлювальними змінними і рівняння, що до них зводяться

Рівняння g(y)=0 досліджується окремо.

 

 

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

 

Неоднорідні диференціальні рівняння першого порядку.

Рівняння вигляду називається лінійними неоднорідними відносно змінної у диференціальному рівнянні першого порядку.Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але вважається невідомою функцією від , тобто і . Для знаходження підставимо у рівняння

Звідси

Проінтегрувавши, одержимо

.

І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

Метод варіації довільної сталої

За методом варіації довільної сталої спочатку розв’язують лінійне однорідне рівняння (1), яке є рівнянням з відокремленими змінними, тому при мають

;

(2)

Рівняння (2) є загальним розв’язком (1), причому частинний розв’язок міститься у ньому при .

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукають у вигляді (3)

Де - невідома диференційована функція. Диференціюючи (3) мають:

Тоді набуде вигляду:

,

Звідки ; ;

Отже, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд:

,

де перший доданок є загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння, а другий – частинним розв’язком лінійного неоднорідного рівняння.

Метод Бернуллі

За методом Бернуллі шукають загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді , де - невідомі диференційовані функції. Враховуючи співвідношення , рівняння перетворюється у наступне: , звідки

,(1)

Шукають як розв’язок рівняння з відокремленими змінними , звідки . Обирають значення довільної сталої та повертаються до рівняння (1), підставивши в нього знайдену функцію , тоді , звідки . Остаточно, враховуючи , одержують загальний розв’язок .

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник