Диференціал функцій багатьох змінних.

Різниця називається повним приростом функції ,а різниці

називаються частинними приростами функції по х і по у відповідно.Повний приріст функції можна зобразити у вигляді суми частинних приростів. Справді,

Якщо функція має частинні похідні і , то, очевидно, ,

, де при .Добутки і називаються частинними диференціалами функції по х і по у відповідно.Якщо функція має неперервні частинні похідні і , то сума частинних диференціалів називається повним диференціалом функції в точці

Прирости незалежних змінних звичайно позначають і . Тоді Можна показати, що ,

де при . Це твердження можна сформулювати так: повний приріст функції в точці наближено дорівнює диференціалу цієї функції у тій самій точці, тобто

 

 

Похідна за напрямом.Градієнт.

Похідною функції в точці M(x,y) за напрямком вектора називається границя

 

 

Диференціювання складної функції

Диференціювання неявних функцій

 

Екстремуми функцій багатьох змінних

Функція має максимум(мінімум) у точці M₀(x₀,y₀), якщо для будь якої іншої точки M(x,y) з деякого околу точки M₀(x₀,y₀) виконується нерівність (відповідно нерівність

).

Умовний екстремум

 

32. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

 

33. Первісна функція та невизначений інтеграл

Таблиця інтегралів

 

35. Основні методи інтегрування: метод підстановки, інтегрування частинами

36. Інтегрування раціональних дробів

 

 

Інтегрування деяких видів ірраціональностей

Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо ò R(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл ò R(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії ò R*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах ò sin²ⁿx×cos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

Визначений інтеграл

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при l_і­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dх_і, ні від вибору точок x_і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування. Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.