Свойства функции распределения.

Понятие случайной величины.

В самом общем смысле случайная величина - это некоторая переменная, принимающая, те или иные значения с определенными вероятностями.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Гистограмма - один из способов представления случайной величины.

случайная величина может быть:
дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений - x_i (где i = 1.. n или i = 1.. ∞) с определенными вероятностями. Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.
непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно. Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1	x2	x3	...	xn	...
p1	p2	p3		pn

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Закон Бернулли - число сочетаний из n элементов по m.

Закон распределения Пуассона

Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (5.2.1)

 

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

 

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если , то ;

(F2)

cуществуют пределы и ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева:

Закон плотности распределения вероятностей

Плотность вероятности - это некоторая средняя вероятность, приходящая на бесконечно малый отрезок

Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):

lim_{Δx →0}(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х.

Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:

D[Х]=M[X-M(X)]²

 

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

 

Свойство 2. постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат:

D(cX) = c²D(X)

 

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:

D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие:

 

если х₁, х₂,..., х_n - случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то

D(X₁+X₂+...+X_n) = D(X₁) + D(X₂)+...+D(X_n).

 

Моментом k -порядка называется математическое ожидание k -й степени отклонения случайной величины Х от некоторой постоянной с.

 

Если в качестве с берется нуль, моменты называются начальными

ν_k = М(Х)^k

 

Если с = М(Х), то моменты называются центральными

μ = M[X – M(X)]^k

Моменты случайной величины.

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

-м начальным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

-м центральным моментом случайной величины называется величина

-м факториальным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков

В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

и т. д.

Вычисление моментов

Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:

если

а для дискретного распределения с функцией вероятности

если

Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :

Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

 

Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p ≤ 1, то число μ появлений этого события при n независимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q = 1 — p, a — биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М (μ) = np и D (μ) = npq, соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделируетслучайную величину

, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

· обозначает факториал числа ,

· — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

Закон распределения системы случайных величин. Таблица распределения. (в файле 2)

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.[/b]

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы дискретных случайных величин. Пусть и — дискретные случайные величины, возможные значения которых , где Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что случайная величина примет значение и одновременно с этим случайная величина примет значение . Вероятности фиксируют в таблице.

 

Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события при составляют полную группу несовместных событий, поэтому

 

 

При этом

 

 

Свойство 1.

или символически

Свойство 2.

или

Свойство 3.

 

или

 

Свойство 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

 

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15), вычисляется, по формуле

 

 

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

 

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения. Условная функция распределения обозначается , условная плотность распределения — (мы записали условные законы распределения случайной величины при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение).

 

Плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение (условной плотностью распределения), назовем величину

 

 

Аналогично плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение, назовем величину

 

. Отсюда получаем .

или с учетом формул (5.3)

 

 

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения. В частности,

 

 

24. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Для характеристики двумерной случайной величины (X, Y) вводят дополнительные числовые характеристики, которые выражают степень зависимости ее составляющих X иY.
^ Начальным моментом порядка s, h системы двух случайных ве­личин X, Y называется математическое ожидание произведения степе­ни s случайной величины X и степени h случайной величины Y:

25. Центральным моментом порядка s, h системы СВ (X, Y) называ­ется математическое ожидание произведения степеней s, h соответст­вующих центрированных случайных величин:

где X=X - M(X), Y=Y – M(Y) – центрированные случайные величины X и Y.
Основным моментом порядка s, h системы СВ (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s,h:

Начальные моменты :

Вторые центральные моменты:
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OX.
- характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OY.
Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент,который называется корреляционным моментом (ковариацией):

Корреляционный момент является мерой связи случайных ве­личин. Если случайные величины X и Y независимы, то математиче­ское ожидание равно произведению их математических ожиданий:
, отсюда
Если ковариация случайных величин не равна нулю, то говорят, что случайные величины коррелированны. Ковариация может прини­мать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h =1, который называют ко­эффициентом корреляции:
где

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависи­мости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:

1. 
   
2. 
   если , то случайные величины линейно зависимы;
3. 
   если , то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.

25. Неравенство Чебышева. Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

, где .

Если , где - стандартное отклонение и , то получаем

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Метод наименьших квадратов

является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

y_t = a₀ + a₁ х_1t +...+ a_n х_nt + ε_t.

Исходными данными при оценке параметров a₀ , a₁ ,..., a_n является вектор значений зависимой переменной y = (y₁, y₂,..., y_T)' и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

Статистической гипотезой

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

 

 

\

Понятие случайной величины.

В самом общем смысле случайная величина - это некоторая переменная, принимающая, те или иные значения с определенными вероятностями.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Гистограмма - один из способов представления случайной величины.

случайная величина может быть:
дискретная случайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений - x_i (где i = 1.. n или i = 1.. ∞) с определенными вероятностями. Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.
непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно. Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x₁, x₂, x₃ ... x_n с некоторой вероятностью p_i, где i = 1.. n. Сумма вероятностей p_i равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1	x2	x3	...	xn	...
p1	p2	p3		pn

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Закон Бернулли - число сочетаний из n элементов по m.

Закон распределения Пуассона

Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (5.2.1)

 

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

 

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если , то ;

(F2)

cуществуют пределы и ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева: