Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла следующим образом.

1) Пусть область является правильной в направлении оси и ограничена линиями: , причем , (рис. 11.2).

Рис. 11.2

При выборе внешнего интегрирования по переменной x (из рис.11.2 видно ) для определения внутренних пределов интегрирования по переменной y по области интегрирования проводим прямую, параллельную оси снизу вверх. Прямая сначала пресекает кривую , которую назовем линией входа. При выходе из области интегрирования прямая пересечет кривую , которую назовем линией выхода. То есть значение пере­менной в области меняется в пределах .

Тогда

= . (11.1)

Правая часть формулы называется повторным интегралом.

Таким образом, вычисление двойного интеграла свелось к вычисле­нию повторного (двух определенных интегралов) интеграла вида

.

При вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в квадрат­ных скобках) x считается постоянным.

2) Пусть область является правильной в направлении оси и ограничена линиями: , причем , (рис. 11.3).

Рис. 11.3

При выборе внешнего интегрирования по переменной y (из рис.11.3 видно, что ) для определения внутренних пределов интегрирования по переменной x по области интегрирования проводим прямую, параллельную оси слева на­право. Прямая сначала пресекает кривую , которую назовем линией входа. При выходе из области интегрирования прямая пересечет кривую , которую назовем линией выхода. То есть значение переменной в области меняется в пределах .

Тогда

= . (11.2)

При вычислении «внутреннего интеграла» y считается постоянным.

Из (11.1) и (11.2) следует, что

. (11.3)

Переход от левой части равенства (11.3) к правой и наоборот называется изменением порядка интегрирования.

Если область интегрирования является неправильной, то ее мож-но представить как объединение правильных областей. Тогда двой-ной интеграл равен сумме двойных интегралов по этим областям.

Пример 11.1. В двойном интеграле расставить пре­делы интегрирования двумя способами, если область ограничена линиями , , .

Решение. Построим область (рис. 11.4). Найдем точки пересечения линий , , решая систему уравнений,

, , ,

, .

Например, из первого уравнения системы находим: , . Таким образом парабола и прямая пересекаются в двух точках с координатами и , одна из которых принадлежит границе области (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Внешнее интегрирование по переменной .

Область интегрирования расположена между прямыми , , а переменная изменяется в данной области при каждом фик­сированном значении от точек параболы до точек пря­мой (рис. 11.4). Следовательно,

.

Внешнее интегрирование по переменной .

Так как верхний участок границы OBA области задан двумя ли­ниями OB и BA, то прямая разбивает область на области , и , . В результате получаем сумму двух повторных интегралов:

.

Пример 11.2. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена линиями , , .

Решение. Построим область (рис. 11.5).

Найдем точки пересечения линий из системы уравнений , , ,

, .

Таким образом, – точка пересечения линий в рассматри-ваемой области.

Рис. 11.5

Область интегрирования расположена между прямыми , , снизу ограничена прямой , сверху – параболой (рис. 11.4). Следовательно,

.

Если проводить внешнее интегрирование по переменной , то об­ласть необходимо разбивать на две области прямой и счи­тать не один, а сумму двух повторных интегралов.

 

Вычисление двойного интеграла

В полярных координатах

Если в двойном интеграле область интегри-рования представляет собой круг или часть круга, то при вычислении интеграла удобно перейти от декартовых к полярным координатам по формулам

,

.

Тогда

.

Вычисление последнего интеграла, как правило, упрощается.

Пример 11.3. Вычислить , где область ограничена окружностью и осью .

Решение. Построим область (рис. 11.6).

Так область представляет собой полукруг, перейдем к полярным координатам по формулам

Запишем уравнение окружности в полярных координатах:

.

Рис. 11.6

Длина радиус-вектора меняется от 0 до 3, при движении конца радиус-вектора вдоль полуокружности угол поворота изменяется от 0 до .

Таким образом, область преобразуется в область , задаваемую неравенствами , .

Следовательно,

.

 

Приложения двойного интеграла к задачам

Геометрии и механики

1) Площадь плоской фигуры, занимающей область , вычисля-ется по формуле

.

2) Объем тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу – плоскостью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси (рис.11.7), можно найти по формуле

.

Рис. 11.7

3) Площадь поверхности , которая проектируется на область плоскости , вычисляется по формуле

.

4) Масса пластинки с поверхностной плотностью , занимающей область плоскости , вычисляется по формуле

.

5) Статические моменты относительно осей и плоской пластинки с поверхностной плотностью , вычисляются по формулам

, .

5) Координаты центра масс плоской пластинки с поверхностной плотностью , вычисляются по формулам

,

где – статические моменты пластинки относительно осей и соответственно, m – масса пластинки.

6) С помощью двойного интеграла можно вычислить также моменты инерции плоской пластины (см. [1], гл. 14, §9).

Пример 11.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Рис. 11.8

Решение. Найдем точки пересечения линий: из системы уравнений

Построим область интегрирования (рис. 11.8). Тогда

Пример11.5. Найти массу плоской пластинки с поверхностной плотностью , ограниченной линиями , .

Решение. Построим область интегрирования (рис. 11.9).

Массу пластинки найдем по формуле .

Область задается неравенствами: .

 

Рис. 11.9

Следовательно,

.

Пример11.6. Вычислить объем тела , ограниченного поверхно­стями ,

Решение. Данное тело ограничено параболическим цилиндром с образующей, параллельной оси и плоскостями , (рис. 11.10).

 

Рис. 11.10 Рис. 11.11

Проекцией тела на плоскости является треугольник (рис.11.11). Область интегрирования задается неравенствами: .

Тогда

 

Тройной интеграл

Аналогично двойному интегралу вводится понятие тройного интеграла. Пусть функция определена (и непрерывна) в некоторой замкнутой области пространства. Разобьем область произвольным образом на элементарных областей с объемами . Внутри каждой элементарной области выберем произвольную точку и составим сумму

.

Предел последовательности интегральных сумм , когда наибольший из диаметров , называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

.

С помощью тройного интеграла вычисляют:

1. Объем тела, занимающего область пространства

.

2. Массу тела с переменной плотностью

,

а также статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс тела ([1], гл. 14, §14).

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла([1], гл. 14, §12).

Например, объем тела из примера 11.6 с помощью тройного интеграла можно вычислить следующим образом. Из рис.11.10 видно, что тело ограничено плоскостью снизу, поверхностью сверху и проектируется на треугольник(рис. 11.11). Поэтому область задается неравенствами . Объем тела с помощью тройного интеграла вычисляем по формуле

.

Далее вычисления интеграла повторяют вычисления из задачи 11.6.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. В двойном интеграле расставить пре­делы интегрирования двумя способами, если область ограничена линиями , , .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

3. Найти массу плоской пластинки с поверхностной плотностью , ограниченной линиями , , .

4. Найти объем тела , ограниченного параболическим цилиндром и плоскостями ,

5. Найти массу плоской пластинки с поверхностной плотностью , ограниченной линиями , , , .