Середня гармонійна та умови її застосування

Статистичні середні завжди виражають якісні властивості суспільних явищ і процесів. В процесі досліджень важливо правильно вибрати форму середньої, яка б відповідала природі взаємозв'язків явищ і їх ознак. Поряд із середньою арифметичною в статистичних дослідженнях використову­ють інші види, зокрема, середню гармонійну.

За своїми властивостями середня гармонійна може застосовуватись тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіан­тів. Таких випадків у сфері соціально-економічних явищ зустрічається відно­сно мало. Проте, не дивлячись на це, середня гармонійна застосовується в статистиці досить широко. До неї звертаються тоді, коли ваги (тобто добуток варіантів на частоти) ділять на варіанти, або це те ж саме, що множать на зворотнє їм число. Таким чином, середня гармонійна - це величина зворотня середній арифметичній із зворотніх значень ознаки.

Звернемося до прикладу. Розрахунок середніх затрат часу, необхідного для виготовлення однієї деталі в бригаді токарів, що виробляють цю продук­цію, здійснюється відношенням:

Формула середньої га­рмонійної простої має такий вигляд:

Вона використовується в тому випадку, коли обсяг явищ, тобто добутки по кожній ознаці рівні. У тих випадках, коли ці добутки по кожній ознаці не­рівні, використовується середнягармонійна зважена, яка має такий вигляд:

де W - добуток варіанта на частоту (Xf), звідси

- зворотні значення варіантів.

 

Структурні середні величини

Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіюючою ознакою. В той же час для характе­ристики структури цих сукупностей застосовуються особливі показники, які називають у статистиці структурними середніми. Зокрема, це мода і медіана., Мода (М_о) - це величина, яка найчастіше зустрічається в даній сукупно­сті. У варіаційному ряді це буде варіант, що має найбільшу частоту.

Мода широко використовується в комерційній діяльності, в соціологіч­них дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, при реєстрації цін, вста­новленні рейтингу популярності осіб чи товарів і т. ін.

Медіаною (M_e) в статистиці називають варіант, що знаходиться в сере­дині упорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні части­ни: одна частина має значення варіюючої ознаки менше, ніж середня, а друга - більше. Медіана показує величину варіюючої ознаки, якої досягла полови­на одиниць сукупності.

Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх є конкретними хара­ктеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, тому їх ще назива­ють описовими характеристиками, їх описовий характер пов'язаний з тим, що в цих величинах не погашаються індивідуальні відхилення, як це відбу­вається в середніх. Вони завжди відповідають повному варіанту. Мода і ме­діана не є типовими характеристиками в тих випадках, коли досліджуються сукупності однорідні і з великою чисельністю одиниць.

Знайти моду і медіану в дискретному варіаційному ряді не складає труд­нощів. Тут значення варіантів мають певні числа.

Інколи зустрічаються ряди розподілу, в яких не один, а два варіанти од­наково модальні, тобто мають найбільші частоти. Це значить, що є дві моди, і розподіл тут бімодальний. Бімодальні розподіли вказують на якісну неод­норідність сукупності за досліджуваною ознакою.

Отже, визначення моди і медіани в дискретному варіаційному ряді не викликає проблем. В інтервальному варіаційному ряді для визначення при­близного значення моди і медіани у межах певного інтервалу звертаються до спеціальних розрахунків, використовуючи для цього відповідні формули. Зокрема, для визначення певного значення модальної величини ознаки, що знаходиться в певному інтервалі, вона має такий вигляд:

де Х₀ - нижня границя модального інтервалу; і_m - величина модального інтервалу; - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, що передує модальному; - частота інтервалу, що іде за модальним інтервалом.

Для визначення медіани з інтервального ряду використовується така формула:

де Х_me - нижня границя медіанного інтервалу;

і - величина медіанного інтервалу;

S_me - сума нагромаджених (кумулятивних) частот до медіанного ін­тервалу;