Консолидация платежей с использованием простой процентной ставки.

Рассмотрим теперь задачу замены платежей , выплачиваемых соответственно через время , одним платежом с выплатой через время .

Рассуждая, как и ранее, можно получить уравнение эквивалентности следующего вида:

 

Пример. Клиент получил в банке кредит на сумму 3 тыс. грн. под 12% годовых.

В соответствии с финансовым контрактом клиент обязался погасить кредит тремя платежами с процентами: 1,5 тыс. грн., 0,5 тыс. грн. и 1 тыс. грн. соответственно через 30, 90 и 150 дней. Однако через некоторое время по обоюдному согласию сторон было решено погасить кредит одним платежом через 120 дней.

Необходимо найти величину консолидированного платежа, если начисляются простые проценты.

 

 

Найдем платежи с процентами согласно первоначальному соглашению:

тыс. грн. тыс. грн.

тыс. грн.

Величина консолидированного платежа составит:

тыс. грн.

Для проверки полученного результата величину консолидированного платежа дисконтируем на момент предоставления кредита:

тыс. грн. Это сумма выданного кредита.

 

Срок консолидированного платежа определяется из равенства приведенных стоимостей соответствующих платежей:

откуда

 

Этой формулой можно пользоваться в тех случаях, когда справедливо неравенство:

 

Пример. Платежи в 2 тыс. грн. и 3 тыс. грн. должны быть погашены соответственно через 45 и 90 дней. Кредитор и должник согласились заменить два платежа одним в 5 тыс. грн.

Найти срок оплаты консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 12% годовых и способ 360/360.

следовательно

года или» 72 дня.

 

Если имеет место равенство то для определения срока консолидированного платежа используется приближенная формула:

 

Для условий последнего примера с помощью приближенной формулы получим:

года, или» 72 дня

Рассмотренные выше формулы для определения консолидированного платежа Р₀ и срока n₀, конечно, не охватывают все возможные случаи. Например, пять погасительных платежей объединяются в два погасительных платежа; или изменяются сроки платежей без изменения их числа и т.п.

Как правило, в каждой конкретной ситуации составляется соответствующее уравнение эквивалентности, отражающее содержание контракта. Причем необходимо оговаривать и некоторые ньюансы, возникающие при составлении этих уравнений. Так, при использовании приведенных значений платежей необходимо согласовывать дату (ее называют базовой), на которую производят приведение. Это делается потому, что от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются значения новых искомых характеристик.

 

Пример. По условию контракта суммы 3тыс. грн., 1 тыс. грн. и 2,5 тыс. грн. должны быть выплачены соответственно 05.05., 15.06. и 25.10.

Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 3,5 тыс. грн. выплачиваются 01.06.; 1,5 тыс. грн. – 01.07. и остаток долга погашается 10.09.

Определить величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 15%, по способу 365/365. Все операции проводятся в пределах одного года.

 

За дату приведения (базовую дату) примем, например, 15.06. – время выплаты 1 тыс. грн. Для лучшего понимания вида уравнения эквивалентности укажем порядковые номера в году представленных в контракте дат: 05.05. – 125; 15.06. – 166; 25.10. – 298; 01.06. – 152; 01.07. – 182; 10.09. – 253.

Обозначив остаток долга через Р, запишем уравнение эквивалентности:

Решив это уравнение относительно Р, получим Р = 1,462 тыс. грн.

 

Замена платежей и сроков их выплат с использованием

Сложной процентной ставки.

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей с использованием сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения.

Если платеж Р₁ со сроком n₁ надо заменить платежом Р₀ со сроком n₀ при использовании сложной процентной ставки r (причем n₁ и n₀ измеряются от одного момента времени), то уравнение эквивалентности имеет вид:

если n₀ > n₁ ;

если n₀ = n₁;

если n₀ < n₁.

 

Эти три уравнения можно объединить в одно, так как для любых сроков n₁ и n₀ должно выполняться условие , что равносильно:

.

Отсюда можно сделать следующий вывод: для эквивалентной согласно сложной процентной ставке замены платежей необходимо, чтобы их приведенные стоимости совпадали. Причем расчет приведенных стоимостей можно осуществлять на любой момент времени, так как:

где t – произвольное вещественное число.

Таким образом, при сравнении платежей можно выбирать любой удобный или интересующий нас момент времени.

 

Пример. Платеж в 6 тыс. грн. и сроком уплаты через 4 года заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 5 лет. Применяется сложная процентная ставка 12% годовых.

а) P₁=3, n₁= 4, n₀= 2, r = 0,12.

тыс. грн.

б) P₁ = 3, n₁ = 4, n₀ = 5, r =0,12.

тыс. грн.

 

Пример. Предлагается выплатить за пользование земельным участком выплатить либо 20 тыс. грн. через 5 лет, либо 30 тыс. грн. через 10 лет.

Определить, какое предложение выгоднее, если есть возможность инвестирования денежных средств под сложную процентную ставку 15% годовых.

Согласно ранее приведенной формуле можно найти приведенные стоимости платежей на любой момент времени.

Предположим, что мы выбрали в качестве момента приведения конец 10-го года. В этом случае наращенная стоимость 20 тыс. грн. через 5 лет составит: тыс. грн. Т.е. первое предложение выгоднее.

Если осуществить приведение платежей, например, к исходному моменту времени, то при учете 20 тыс. грн. за 5 лет и30 тыс. грн. за 10 лет получим соответственно:

тыс. грн. тыс. грн.

Следовательно, опять делаем вывод о предпочтительности первого предложения. Вообще такой вывод будет при выборе любого момента времени для расчета приведенных или наращенных стоимостей платежей, если используется сложная процентная ставка.

Однако, если использовать простую процентную ставку и такой же метод оценки предложений, то можно прийти к противоречивым выводам.

Так, выбирая конец 10-го года и сравнивая тыс. грн. и 30 тыс. грн. получаем, что первое предложение лучше. Однако, если выберем исходный момент времени и сравним тыс. грн. и тыс. грн., получаем, что выгоднее второе предложение.

 

Если известен размер нового платежа Р₀, а необходимо найти срок его выплаты n₀, то для этого используется следующая формула:

 

Пример. Определить величину нового срока, если платеж в 2 тыс. грн. через 5 лет заменяется платежом в 3 тыс. грн. и используется сложная процентная ставка 15% годовых.

P₁ = 2, n₁= 5, P₀= 3, r = 0,15.

 

 

Рассмотрим более общую ситуацию, когда платежи Р₁, Р₂, …, Р_m, выплачиваемые соответственно через время n₁, n₂, …, n_m, заменяются одним платежом P₀ выплатой через время n₀. В составляемом уравнении эквивалентности платежу P_k, будет соответствовать слагаемое т.е. при n₀ > n_k, будет иметь место наращение сложных процентов на капитал P_k, а при n₀ < n₁ капитал P_k будет учитываться.

Уравнение эквивалентности имеет вид:

или что то же самое

 

Если стоит задача сравнения на основании сложной процентной ставки платежа Р₀ с заменяемыми платежами, то за момент оценки можно выбирать любой произвольный момент времени.

Если известен размер консолидированного платежа, а необходимо найти новый срок его выплаты, то используется формула:

 

 

Пример. Три платежа в 3,0, 1,0 и 1,5 тыс. грн. со сроками выплаты соответственно через 1, 2,5 и 4 года заменяются одним платежом, выплачиваемым через 3 года.

Найти величину консолидированного платежа, если используется сложная процентная ставка 14% годовых.

Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей?

 

P₁=3, P₂= 1, P₃=1,5, n₁=2, n₂=2,5, n₃= 4, n₀= 3, r = 0,14.

тыс. грн.

Если же Р₀= 3 + 1 + 1,5 = 5,5 тыс. грн., то

года.

 

Этот же результат можно получить и иначе: считаем, что платеж 6,282 тыс. грн., выплачиваемый через 3 года, необходимо заменить платежом в 5,5 тыс. грн. Тогда новый срок рассчитывается следующим образом:

года.

 

Если несколько платежей заменяются одним, используется сложная процентная ставка и сложные проценты начисляются z раз, то уравнение эквивалентности имеет вид:

откуда

 

Пример. В условиях предыдущего примера начисление процентов осуществляется ежеквартально.

Найти величину консолидированного платежа и новый срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен 5,5 тыс. грн.

 

тыс. грн.

 

 

года.

 

Существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, поэтому имеется большое многообразие уравнений эквивалентности. Поэтому охватить готовыми формулами все возможные варианты изменения условий финансовых сделок не представляется возможным. Однако в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется по ранее рассмотренной методике, что подтверждается приведенными примерами.

Задача замены платежей при использовании учетной ставки или непрерывных процентов рассматривается аналогичным образом, как и при использовании процентной ставки. Поэтому можно ограничиться приведением основных формул, не останавливаясь подробно на их рассмотрении.

Если платежи Р₁, Р₂, …, Р_m, выплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_m, консолидируются в один платеж Р₀ с выплатой через время n₀ и используется номинальная годовая учетная ставка d, то уравнение эквивалентности имеет следующий вид:

 

Если необходимо для этих условий определить новый срок выплаты консолидированного платежа, то используется формула:

 

Тема 7