Постоянный аннуитет постнумерандо с начислением процентов m – раз за период.

Если r является процентной ставкой за базовый период, а начисление сложных процентов происходит m раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления, имеет вид:

.

 

Другими словами, мы получили геометрическую прогрессию, первый член которой равен А и знаменатель которой - . Следовательно, сумма первых n членов этой прогрессии будет равна:

Другой очень важной ситуацией, которая часто встречается в финансовых операциях, является ситуация, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода.

В рамках этой ситуации возможно решение двух задач:

1) используется для начисления схема сложных процентов;

2) используется схема простых процентов.

Рассмотрим первую из них.

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и один раз в конце периода начисляются сложные проценты в соответствии с ставкой r.

На последнее поступление проценты не начисляются и оно остается равным А. На предпоследнее р – 1 поступление начисляются сложные проценты за часть периода 1/р и оно будет равно . На р – 2 поступление начисляются сложные проценты на часть периода 2/р и оно будет равно и т.д. до первого денежного поступления включительно, которое будет равно . Полученная последовательность величин представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом А, знаменателем и числом членов, равным р.

Поэтому будущая стоимость такого аннуитета будет определяться из выражения:

, или .

Поскольку , значения в финансовых таблицах как правило не приводятся. Поэтому для расчета коэффициента наращения такого аннуитета пользуются формулой: .

Рассмотрим вторую задачу, полагающую, что на отдельные взносы, поступающие в течение периода, происходит начисление простых процентов. Для этого определим сумму, которая накопится к концу любого периода.

Как и в предыдущем случае на последнее р-е поступление денежных средств проценты не начисляются и оно остается равным А.

На предпоследнее поступление за период р – 1 начисляются простые проценты за 1/р - часть периода и оно будет равно

Аналогичным образом предшествующее (р –2) – е поступление станет равным и т.д. Наконец, первое поступление будет равняться .

Полученные величины образуют арифметическую прогрессию (разность равна; число членов р), следовательно сумма членов такой прогрессии будет равна:

Таким образом, имеем дело с аннуитетом, в котором денежные поступления в каждом периоде равны величине .

Для определения будущей стоимости такого аннуитета используется формула: .

 

Рассмотрим самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и проценты начисляются m за период. Здесь возможны две ситуации: либо начисляются простые проценты, либо - сложные.

Если происходит начисление только сложных процентов, то, как и ранее, определяем вначале сумму, образовавшуюся в конце любого периода.

Последнее поступление в периоде остается равным А, т.к. на него не производится начисление процентов. Предпоследнее поступление после начисления сложных процентов составит Предшествующее ему поступление - и т. д. вплоть до первого, которое станет равным Сумма полученных величин составит:

Будущая стоимость аннуитета с денежными поступлениями, равными полученной сумме, определяется по формуле:

Пример.

Вам предлагается сдать в аренду участок с арендной платой в размере 5 тыс. грн. в конце каждого полугодия. При этом возможно начисление процентов: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное.

Какой из вариантов предпочтительнее?

 

а) ежегодное начисление процентов.

Возможно либо начисление сложных, либо простых процентов.

Будущая стоимость аннуитета при начислении сложных процентов:

тыс. грн.

Если в течение года начисляются простые процента, то будущая стоимость аннуитета составит:

тыс. грн.

б) начисление процентов по полугодиям:

тыс. грн.

в) ежеквартальное начисление процентов:

тыс. грн.