Некоторые законы распределений случайных величин

 

В теории вероятностей и математической статистике выводится большое количество специальных законов распределений СВ, широко используемых в различных отраслях науки и техники. Мы ограничимся рассмотрением лишь тех, которые наиболее часто применяются в эконометрическом анализе. Эти распределения используются для нахождения интервальных оценок, при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализе. Для удобства практического использования распределений СВ разработаны таблицы α-квантилей (критических точек), которые позволяют быстро и эффективно оценивать соответствующие вероятности [16] (см. Приложения).

Критической точкой уровня α ( α -квантилем) называется такое значение х_α СВ Х, при котором выполняется условие:

(правосторонний критерий). (1.11)

С геометрической точки зрения нахождение квантиля х _α заключается в выборе такого значения х, при котором площадь заштрихованной области на рис. 1.4 была бы равна α.

 

 

 

Рис. 1.4.

 

Для симметричных относительно оси ординат распределений можно ввести понятие двустороннего α-квантиля – Р(| х | > x _α). Нахождение α-квантиля (критической точки) определяется величиной (уровнем значимости) самого α и числом степеней свободы рассматриваемых распределений.

 

Нормальное распределение

 

Нормальный закон распределения (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому он используется в очень большом числе практических приложений.

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. (1.12)

Нормальное распределение (рис. 1.5) полностью определяется двумя параметрами - математическим ожиданием m = M (X) и средним квадратическим отклонением - σ = σ(Х) - и символически обозначается Х ~ N (m, σ²) или X ~ N (m, σ). При изменении числовой характеристики m нормальная кривая перемещается вдоль оси Ох, при изменении σ меняется форма кривой. Нормальный закон распределения с числовыми характеристиками (параметрами) m = 0 и σ² = 1 называется стандартным распределением.

 

 

 

Рис. 1.5.

 

Для практических расчетов вероятностей СВ, подчиняющихся нормальному распределению, удобно пользоваться таблицами значений функции Лапласа (Приложение 1). Функция (интеграл вероятностей) Лапласа Ф (u) имеет вид:

(1.13)

где F(u) - функция стандартного нормального распределения СВ U, . Тогда вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [ х ₁, х ₂].

Р (х ₁ £ Х £ х ₂) = Ф (u ₂) – Ф (u ₁), (1.14)

где .

Кроме того, справедливы следующие соотношения: Р (| Х - m | < σ) = 0,68; P(| Х - m | < 2σ) = 0,95; P(| Х - m | < 3σ) = 0,9973, где | Х - m | - отклонение СВ Х от математического ожидания. Другими словами, значения нормально распределенной СВ Х на 95 % сосредоточены в области (m - 2σ, m + 2σ) и на 99,73 % сосредоточены в области (m - 3σ, m + 3σ).

Следует также отметить, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение.

В том случае, когда логарифм СВ подчинен нормальному закону, говорят, что она имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение.

 

1.3.2. Распределение χ² (хи-квадрат)

 

При моделировании экономических процессов достаточно часто приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Возможность прогнозирования поведения таких СВ осуществляется при использовании ряда специально разработанных законов распределений. К ним относятся χ²-распределение, распределения Стьюдента и Фишера-Снедекора.

Пусть имеется n независимых СВ Х_i, i = 1, 2 … n, распределенных по нормальному закону, с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ _i, соответственно. Если считать, что математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице, тогда СВ U_i = (X_i - m_i)/σ _i имеют стандартное нормальное распределение, U_i ~ N (0,1).

Распределением χ ² с ν = n степенями свободы называется распределение суммы квадратов n независимых СВ U_i

(1.15)

Число степеней свободы ν исследуемой СВ определяется числом СВ ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется как ν = n - m.

Распределение χ² определяется одним параметром - числом степеней свободы ν: М (χ²) = ν = n - m, D (χ²) = 2 ν = 2(n - m). График плотности вероятности СВ, имеющей χ²-рас­пределение, расположен только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». С увеличением числа степеней свободы распределение χ² постепенно приближается к нормальному распределению. Таблицы критических точек χ²-рас­пределения приведены в Приложении 3.

 

Распределение Стьюдента

 

Рассмотрим стандартную нормальную СВ U ~ N (0,1) и независимую от нее СВ V, распределенную по закону χ² с ν = n степенями свободы (обозначается V ~ ). Тогда распределение случайной величины

(1.16)

называется распределением Стьюдента (псевдоним английского химика и статистика Госсета) или t -распределением с n -степенями свободы (t_n).

При n > 2 M (t) = 0 и D (t) = n / n - 2. График функции плотности вероятности СВ, имеющей распределение Стьюдента, является симметричной кривой относительно оси ординат (рис. 1.6) [11].

 

 

 

Рис. 1.6.

 

С увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному закону и практически при n > 30 можно считать t -распределение приближенно нормальным. Таблица критических точек распределения Стьюдента для различных значений уровня значимости α и числа степеней свободы ν (t _{α ,ν} ) представлена в Приложении 4.