Поступальні та обертальні рухи твердого тіла. Кутова швидкість та кутове прискорення.

Тверде тіло — агрегатний стан речовини, що характеризується стабільністю форми на відміну від інших агрегатних станів рідини та газу.

Поступальний рух — рух, при якому всі точки тіла або системи матеріальних точок переміщуються паралельними траєкторіями. Внаслідок поступального руху тіла усі його точки рухаються з однаковими швидкостями і прискореннями, тому для вивчення такого руху досить вивчити рух однієї точки, що належить даному тілу. Рух ізольованої матеріальної точки поступальний за означенням. Наприклад, рух поїзда по всьому шляху.

Рух абсолютно твердого тіла можна подати у вигляді суми поступального руху й обертання.

В загальному випадку довільної системи матеріальних точок рух можна подати у вигляді поступального руху і відносного руху точок системи одна щодо іншої.

В класичній механіці поступальний рух задовільняє рівнянню:

· ,

де

· — сумарний імпульс усіх тіл механічної системи,

- сумарна сила.

Обертальний рух – це рух,при якому всі частинки твердого тіла переміщуються по колах, центри яких лежать на нерухомій площині, що називається віссю. При обертальному русі всі частини тіла переміщуються з різними лінійними швидкостями, але всі вони мають однакові кутові швидкість та прискорення, які є характеристиками обертального руху.

Кутова́ шви́дкість — відношення зміни кута при обертанні до відрізку часу, за який ця зміна відбулася.

 

Вимірюється в радіанах за секунду. Оскільки зростання кута відраховується проти годинникової стрілки, то кутова швидкість додатня при обертанні проти годинникової стрілки і від'ємна при обертанні за годинниковою стрілкою. Якщо зміна кута нерівномірна, то вводиться миттєва кутова швидкість:

Кутове прискорення - похідна від кутової швидкості по часу.

де β- кутове прискорення, - кутова швидкість, t - час. Вимірюється в рад/c².

Кутове прискорення зване з тангенціальними прискоренням: а_t=βr. Може бути ознакою різних видів обертальних рухів точки: 1)β=0 – рівномірний обертальний рух; 2)β=const – рівнозмінний обертальний рух.

Момент інерції твердого тіла. Моменти інерції тіл найпростішої форми.

Моме́нт іне́рції тіла відносно даної осі(одиниця виміру в системі СІ [кг*м2]) – склярна величина, яка дорівнює сумі добутків мас частинок на квадрати їхніх відстаней від осі ообертання.

J=∑m _i r _i ², добуток m _i r _i ² – момент інерції окремої частинки відносно осі обертання. Тобто момент інерції системи тіл відносно осі обертання дорівнює сумі моментів інерції складових частин системи відносно даної осі. Під моментом інерції розуміють міру інертності тіла при обертальному русі. Кожне тіло має конкретне значення моменту інерції відносно конкретної осі обертання. 1. Порожнистий товстостінний циліндр масою m та радіусами R₁ та R₂ відносно геометричної осі: J=(m*(R₁²+ R₂²))/2; порожнистий тонкостінний циліндр масою m та радіусом оболонки R відносно геометричної осі: J=mR²; суцільний циліндр масою m та радіусом оболонки R відносно геометричної осі: J=mR²/2; куля масою m та радіусом R, відносно осі, що проходить через центр кулі: J=2/5 mR²; стержень масою m і завдовжки l, відносно осі перпендикулярної до середини стержня: J=1/12 m l ²; той самий стержень відносно осі перпендикулярної до кінця стержня: J=1/3 m l ².

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, то момент інерції відносно будь-якої іншої осі, що паралельна до даної визначається теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера): момент інерції тіла J відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J_c відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

 

 

Питання 31

Теорема Штейнера

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, то момент інерції відносно будь-якої іншої осі, що паралельна до даної визначається теоремою Штейнера (теоремою Гюйгенса-Штейнера): момент інерції тіла J відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла J_c відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається, і добутку маси тіла m на квадрат відстані d між осями:

Моментом інерції механічної системи відносно непорушної вісі а називається фізична величина І, яка дорівнює добутку мас матеріальних точок системи на квадрати їх відстані від вісі.

І_а=∑r_i²m_i

Момент інерції тіла: І_а=∫r²dm=∫ r²pdV,

де p-плотність тіла,

dV – елементарний обсяг.

Питання 32