Инженерно-вычислительные технологии

ИНЖЕНЕРНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Лабораторная работа № 5.

Методы обработки экспериментальных данных

Основы работы в Curve Fitting Toolbox

http://orloff.am.tpu.ru/chisl_metod_labs_2/Lab4/index.htm

Полную информацию о возможностях Curve Fitting Toolbox можно посмотреть на сайте http://matlab.exponenta.ru. Здесь приведены сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

Рис. 1 Вызов приложения Curve Fitting Toolbox

Информация о моделях и объектах, создаваемых функциями

 Curve Fitting Toolbox:

cflibhelp - получение информации о стандартных параметрических моделях, входящих в Curve Fitting Toolbox.

disp - получение информации об объектах, создаваемых функциями Curve Fitting Toolbox.

Задание и получение значений свойств объектов,создаваемых функциями Curve Fitting Toolbox

get - получение свойств объектов.

set - задание свойств объектов.

Получение статистической информации о данных и предварительная обработка данных:

excludedata - поиск данных, которые должны быть исключены из исходного набора в соответствии с выбранным правилом.

smooth - сглаживание данных с использованием различных способов.

datastats - нахождение минимального и максимального значений, среднего, стандартного отклонения.

Работа с полученным приближением:

confint - вычисление доверительных интервалов для вычисленных параметров модели.

predint - нахождение интервалов предсказаний наблюдаемых значений с заданной вероятностью.

differentiate - дифференцирование построенной параметрической модели.

integrate - интегрирование построенной параметрической модели.

feval - вычисление значений параметрических моделей.

plot - построение графиков данных, параметрических моделей, ошибок.

 

Оценка качества приближения

После приближения данных стандартной параметрической моделью или моделью, заданной пользователем, оценка качества приближения может быть проведена как графически, так и с использованием различных критериев пригодности приближения: SSE (сумма квадратов ошибок), R-square (критерий R-квадрат), Adjusted R-square (уточненный R-квадрат), RSME (корень из среднего для квадрата ошибки). Кроме того, можно вычислить доверительные интервалы для найденных значений параметров модели, соответствующие различным уровням вероятности, и доверительные полосы для приближения и данных, так же соответствующие различным уровням вероятности.

Его значение не может превышать единицы, а близкие к единице значения уточненного R-квадрат свидетельствуют о хорошем приближении исходных данных параметрической моделью.

Корень из среднего для квадрата ошибки RSME (Root mean Squared Error)

Параметрические модели

Гауссовы модели (Gaussian)

Модель Вейбула (Weibull)

Степенные модели (Power)

Непараметрические модели

 

Создание собственной параметрической модели

Кроме предопределенных моделей, описанных в предыдущем пункте Стандартные параметрические и непараметрические модели, пользователь приложения cftool имеет возможность создавать собственные модели, в которые искомые параметры входят как линейно, так и нелинейно. Для создания собственной модели следует в окне выбора модели выбрать пункт Custom Equations (Рис. 16)

Рис. 16 Вид области окна управления моделями при выборе Custom Equations

 

В области окна управления моделями можно выделить две области

1. Область задания имен зависимых (y) и независимых (x) переменных (другими словами определение вида функции).

2. Область задания  параметрической модели путем последовательного добавления функции при искомых коэффициентах. Для добавления каждой следующей функции требуется нажать клавишу <Enter>.

Пусть, например, требуется создать параметрическую модель

Рис. 17 Создание параметрической модели a1.*x*exp(-x)+a2.*exp(-x)+a3

Формулы набираются в соответствии с правилами MATLAB с использованием знаков +, -, *, /, ^ (возведение в степень) для арифметических операций, круглых скобок для изменения их приоритета и встроенных математических функций, список которых можно получить, задав в командном окне MATLAB команду 

>> help elfun

В следующей таблице приведены наиболее часто используемые функции

Тригонометрические функции (аргумент задается в радианах)
sin, cos, tan, cot	Синус, косинус, тангенс и котангенс
sec, csc	Секанс, косеканс
Обратные тригонометрические функции (результат вычисляется в радианах)
asin, acos, atan, acot	Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
asec, acsc	Арксеканс, арккосеканс
Гиперболические функции
sinh, cosh, tanh, coth	Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс
sech, csch	Гиперболические секанс и косеканс
asinh, acosh, atanh, acoth	Гиперболические арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
Экспоненциальная функция, логарифмы, степенные функции
Exp	Экспоненциальная функция
log, log2, log10	Натуральный логарифм, логарифмы по основанию 2 и 10
Sqrt	Квадратный корень
Модуль, знак
abs, sign	Модуль и знак числа

 

После набора формулы модели и нажатия кнопки Fit (команды на исполнение), окно Curve Fitting Toolbox будет иметь вид (Рис. 18).

 

Рис. 18 Вид рабочей области окна Curve Fitting Toolbox после выполнения приближения с использованием созданной модели a1.*x*exp(-x)+a2.*exp(-x)+a3

Приведем пример того, что начальное приближение к искомым параметрам играет большую роль при подборе параметров в нелинейной модели. В командном окне введем следующие данные в глобальные переменные x и y рабочей среды:

>> x=0:0.1:3;

>> y=exp(-2*x.^2).*sin(4*x.^2)+exp(-x.^2).*sin(x)+0.01*rand(size(x));

Далее импортируем их в приложение cftool так, как описано выше (рис. 6). В окне Fitting создадим новое приближение с именем Mainfit 1 и определим следующую нелинейную параметрическую модель

введя выражение

exp(-a*x^2)*sin(b*x^2)+ exp(-с*x^2)*sin(в*x)

в окне задания модели пользователя (Рис. 19)

 

Рис. 19 Задание модели exp(-a*x^2)*sin(b*x^2)+ exp(-с*x^2)*sin(в*x)

 Установим в качестве начальных приближений для параметров следующие значения

a=5    b=5      c=5      d=5

Для корректировки начальных приближений нужно открыть закладку < Fit Options > (Рис. 20).

Рис. 20 Корректировка коэффициентов модели начальных приближений   

Далее закрываем окно корректировки начальных приближений для параметров и запускаем процесс приближения данных заданной нами моделью, нажав кнопку < Fit >.

 Получается хорошее приближение (см. рис. 21). Теперь создадим еще одно приближение с именем Mainfit2 с той же самой параметрической моделью и установим другие начальные приближения для параметров

а = -0,1

b = 0,1

c = 0,1

d = 0,1

Результаты приближения с такими параметрами представлены на Рис.22.

Рис. 21 Вид рабочей области окна Curve Fitting Toolbox после выполнения приближения с использованием созданной модели exp(-a*x^2)*sin(b*x^2)+ exp(-с*x^2)*sin(в*x) и коэффициентов начальных приближений a=b=c=d=5

Рис. 22 Вид рабочей области окна Curve Fitting Toolbox после выполнения приближения с использованием созданной модели exp(-a*x^2)*sin(b*x^2)+ exp(-с*x^2)*sin(в*x) и коэффициентов начальных приближений a=-0,1 b=0,1 c=0,1 d=0,1

Результаты для одной и той же параметрической модели с различными начальными значениями параметров отличаются друг от друга.

 

Пример подбора параметров нелинейной модели

 

Возьмем в качестве исходных данные, полученные возмущением данных, которым соответствует нелинейная модель

y = 3ln(x - 0.9) - 7x

xdata=(1:0.02:3);

ydata=3*log(xdata-0.9) - 7*xdata + 0.1*randn(size(xdata));

plot(xdata,ydata,'.')

 

Рис. 28 Исходные данные для приближения нелинейной моделью

Если в в диалоговом окне Fit options установим в качестве начальных приближений для параметров следующие значения Рис. 29.

Рис. 29 Значения параметров начальных паприближений

то получим сообщение об ошибке Рис. 30.

Рис. 30 Сообщение об ошибке поскольку в процессе

подбора под логарифмом оказалось неположительное значение

 

Рис. 31 Корректировка значения параметра начальных приближений

Далее закрываем окно корректировки начальных приближений для параметров и запускаем процесс приближения данных заданной нами моделью, нажав кнопку < Fit >. Получается хорошее приближение (см. рис. 32).

Рис. 31 Корректировка значения параметра начальных приближений

ИНЖЕНЕРНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Лабораторная работа № 5.

Методы обработки экспериментальных данных

Основы работы в Curve Fitting Toolbox

http://orloff.am.tpu.ru/chisl_metod_labs_2/Lab4/index.htm

Полную информацию о возможностях Curve Fitting Toolbox можно посмотреть на сайте http://matlab.exponenta.ru. Здесь приведены сведения, необходимые для выполнения лабораторной работы.

Рис. 1 Вызов приложения Curve Fitting Toolbox