Логические элементы, таблицы истинности, булевы выражения

Логические элементы – это элементарные цифровые устройства, которые используются для обработки информации в цифровой последовательности сигналов высокого – «1» и низкого – «0» уровней.

Техническое выполнение логических элементов осуществляться на реле, транзисторах, диодах и др. В настоящее время широкое распространение получили логические элементы в виде цифровых интегральных микросхем.

Функциональные свойства логических элементов и устройств описываются таблицей истинности и булевым уравнением. В таблице истинности логического элемента указываются все возможные значения сигнала на выходе для любой комбинации сигналов на входе. Таким образом, таблица истинности дает исчерпывающую характеристику работы логического элемента, т.е. описывает логическую функцию. Логическая функция, представленная символами алгебры Буля, выражается булевым уравнением.

На принципиальной схеме логический элемент принято изображать прямоугольником, внутри которого ставится символ указателя функции. С левой стороны прямоугольника линиями показываются входы, с правой стороны – выход элемента.

Базовыми логическими элементами являются: И, ИЛИ, НЕ, исключающее ИЛИ (их условные обозначения по ГОСТу приведены в приложении 1). С помощью этих элементов можно реализовать логические функции любой сложности. Может лишь потребоваться большее или меньшее количество логических элементов.

На рис. 1 представлены принципиальные схемы, булевы выражения и таблицы истинности для элементов: И – «конъюнктор», ; ИЛИ – «дизъюнктор», ; НЕ – инвертор, ; исключающее ИЛИ,

Рис.1. Логические элементы:

a – И; б – ИЛИ; в – НЕ; г – исключающее ИЛИ

К более сложным логическим элементам относятся такие элементы как И-НЕ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ-НЕ. Данные элементы являются комбинацией базовых логических элементов.

Рис.2. Логические элементы:

a – И-НЕ; б – ИЛИ-НЕ; исключающее ИЛИ-НЕ

На практике часто применяются логические элементы с количеством входов больше двух. На рис. 3 приведены булево выражение, принципиальная схема и таблица истинности элемента ИЛИ с четырьмя входами. Из таблицы истинности видно, что из-за наличия четырех входов число возможных комбинаций  возрастает до 16.

Рис.3. Логический элемент ИЛИ с четырьмя входами:

a –булево выражение, б –принципиальная схема, в –таблица истинности

1.2 Запись булевых выражений по таблицам истинности

Булевы выражения встречаются в двух основных формах – дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) и конъюнктивной нормальной форме (КНФ). ДНФ представляет собой сумму произведений, КНФ – произведение сумм.

Обратимся к таблице истинности, показанной на рис. 4. Запишем булево выражение для заданной таблицы в ДНФ. В таблице курсивом выделены те строки, в которых комбинации переменных на входе дают единицу на выходе. Представим все указанные единицы в виде произведения всех четырех элементов. Например, при заданных значениях элементов в строке №1 выражение  равно 1. Для оставшихся строк 3, 5, 7, 8, 9 аналогичные выражения имеют вид . Далее полученные выражения свяжем логической функцией ИЛИ. В результате для приведенной таблицы истинности получим следующее булево выражение

(1)

№	A	B	C	D	Y
0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1
2	0	0	1	0	0
3	0	0	1	1	1
4	0	1	0	0	0
5	0	1	0	1	1
6	0	1	1	0	0
7	0	1	1	1	1
8	1	0	0	0	1
9	1	0	0	1	1
10	1	0	1	0	0
11	1	0	1	1	0
12	1	1	0	0	0
13	1	1	0	1	0
14	1	1	1	0	0
15	1	1	1	1	0

 

Рис.4. Таблица истинности для построения булева выражения

Иногда приходится выполнять процедуру, обратную рассмотренной, т.е. по булеву выражению восстанавливать таблицу истинности.  Запишем таблицу истинности для выражения

                                                                        (2)

    В данном примере единицу на выходе должны давать комбинации входных сигналов  и . Выражение  при , а выражение  при . Необходимо отметить, что для комбинации входных сигналов  единица на выходе получается вне зависимости от сигнала на входе . Следовательно, логическая единица для данной комбинации записывается не в одну, а в две строки таблицы с разными значениями сигнала В. Таблица истинности для выражения (2) представлена на рис. 5.

 

№	A	B	C	Y
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	0
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

Рис. 5. Таблица истинности, построенная на основе булевого выражения