Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление определенного интеграла
Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом равен первообразной функции f(x). Если функция f (x) непрерывна на интервале [a,b], то функция
Ф(х) =
где , дифференцируема в любой внутренней точке х этого интервала, причем Ф¢(x) = f (x), то есть функция Ф(х) является первообразной функции f (x). Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом. Доказательство. Найдем производную функции Ф(x). Для этого вначале выберем приращение аргумента D х столь малым, чтобы точка х + D х лежала внутри отрезка [ a, b ], и найдем приращение функции Ф(х) (рис. 5.5, приращение обозначено зеленым цветом).
DФ(х) = Ф(х + D х) - Ф(х) = =
Здесь мы использовали свойство аддитивности. К полученному интегралу применим теорему о среднем (5.13) DФ(x) = = f (с)D x, где с Î [ x, x +D x ]. Рис. 5.5. Интеграл с переменным верхним пределом.
Следовательно, = f (с). Поскольку f (x) непрерывна и, если D х ® 0, то с ® x, а Поэтому производная функции Ф(х) равна f (x) . (5.13)
А так как производная функции Ф(х) равна f (x), то, по определению первообразной, Ф(х) первообразная. Следовательно, интеграл от функции f (x) с постоянным нижним и переменным верхним пределом х, есть одна из первообразных функции f (x) . Теорема. Формула Ньютона – Лейбница. Если функция f (x) непрерывна на интервале [ a, b ], то определенный интеграл равен разности значений первообразной на концах промежутка . (5.14)
Доказательство. В силу непрерывности на отрезке [ a,b ] функция f (x) интегрируема и, на основании предыдущей теоремы, имеет первообразную
Ф(x) = = F (x) + C. (5.15)
Константу С легко выразить через значение первообразной F (х) в точке а. Действительно, принимая во внимание, что
Ф(а) = = 0 (5.16) из (5.16) получим:
- F (a) = C. (5.17)
Поскольку
Ф(b) = , (5.18)
то, подставив (5.17) в (5.18) получим формулу Ньютона – Лейбница
(5.19)
где F (x) - первообразная для функции f (x), а - знак подстановки Ньютона. Этот знак означает, что сперва в функцию F (x) подставляем верхний предел и вычитаем функцию вычисленную в точке нижнего предела. Формула (5.19) дает следующее правило: для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции, т.е. вычислить неопределенный интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределе. Пример 1. Вычислить интеграл . Решение. . Следовательно, по формуле (5.19)
При вычислении определенного интеграла используются те же основные приемы, что и при вычислении неопределенного интеграла.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
= - (5.20) Пример 2. Вычислить Решение. Прямому вычислению данного интеграла препятствует наличие сомножителя х в подынтегральном выражении. Поскольку производная от х ’=1, то, используя (5.20), возьмем u = x. Тогда
=
Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенного интеграла можно использовать замены, в том числе простейшие замены: линейную и «типа подведение под знак дифференциала».
= (5.21)
где x = j(t), j(a) = a, a=j-1(a); j(b) = b, b = j-1(b).
Пример 3. Вычислить . Решение. Положив ln (х) = t, имеем . Если х = 1, то t = ln 1 = 0, если х = е, то t = ln е = 1. Тогда
Несобственные интегралы
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а £ х < +¥. Рассмотрим интеграл . При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом от функции f (x) с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению
. (5.22)
Если предел в (5.22) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом
,
и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
.
Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F (x) для подынтегральной функции f (x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т. е.
.
Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл . Решение: если p 1, , если p = 1, , Вывод: сходимость интеграла I зависит от значения параметра р: если р > 1, то , т.е. интеграл сходится, если р < 1, то , т.е. интеграл расходится, если р = 1, то интеграл расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на [ a, b ] за исключением точки с Î [ a, b ]. Рассмотрим три случая. 1. Функция терпит разрыв в точке b. Интеграл от функции f (x) с точкой разрыва на верхнем пределе определяется так . Пример. Вычислить интеграл . Решение.
2. Функция терпит разрыв в точке а. Тогда по аналогии с предыдущим случаем интеграл с точкой разрыва на нижнем пределе определяется так
. Пример. Исследовать интеграл Здесь подынтегральная функция не существует в точке х = 0, поэтому
.
Таким образом, данный интеграл расходится (не существует).
Функция имеет разрыв во внутренней точке отрезка [ a, b ], т. е. a < c < b.
.
Пример. Вычислить интеграл . Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке 0. Поэтому
.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 47; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.69.151 (0.024 с.) |