Однофазные электрические цепи

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Расчет неразветвленных (одноконтурных) электрических цепей

Неразветвленная (одноконтурная) электрическая цепь представляет собой замкнутый контур последовательно соединенных сопротивлений активного, ин­дуктивного и емкостного характера, а также источников ЭДС.

Чаще всего задача формулируется следующим образом: для заданных ве­личин сопротивлений и значений ЭДС определить ток, протекающий в цепи; значение напряжения, действующего между определяемыми точками цепи (его будет показывать включенный между ними вольтметр); полную, активную и реактивную мощности электрической сети.

Пример 1.1

Рассмотрим алгоритм решения такой задачи на примере схемы, приведенной на рис. 1.1.

н.о.к.

Рис. 1.1. Электрическая схема к примеру 1.1.

Дано:

= j 100(B)

R = 20 Ом, X_L = 10 Ом, X_c = 30 Ом

Найти: Комплексное значение тока I, его действующее значение I; показание вольтметра, включенного между точками 1 и 2; полную комплексную мощность S, активную мощность P и реактивную мощность Q.

Решение:

1) Определение комплексного тока I и его действующего значения I.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для заданного замкнутого контура, выбрав н аправление о бхода к онтура (н.о.к) по часовой стрелке (рис. 1.1):

E ₁ – E ₂ = I (R + jX _L – jX _C) = I · Z,

где Z = R + jX_L –  jX_C – полное комплексное сопротивление.

Выразим из уравнения комплексное значение тока I:

                                             (1.1)

Так как значение ЭДС E ₁ в условии задачи приводится в виде мгновенного значения , необходимоперевести его в комплексную форму:

Подставляя E ₁в уравнение (1.1) для определения тока I, получим:

Действующее значение тока I:

2) Определение показания вольтметра, включенного между точками 1 и 2 двумя способами.

2.1) Напряжение на любом участке цепи можно найти, зная потенциалы вдоль контура. Для этого условно примем потенциал в точке 2 равным нулю. Тогда

Если обходить контур навстречу движения тока:

Так как потенциалы в точке 1 совпали, то найденное решение верно.

Показание вольтметра соответствует разности потенциалов между точками 1 и 2, т.е.:

Ниже приведены фрагменты расчета потенциалов вдоль контура в Mathcad, где по найденным значениям потенциалов можно легко построить потенциальную диаграмму. Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциалов от сопротивления вдоль замкнутого контура.

Кроме того, на основании выполненных в Multisim измерений потенциалов (табл. 1.1) также построена потенциальная диаграмма в Excel. Как видно, графики совпали, что говорит о верном расчете потенциалов.

2.2) Напряжение, действующее между точками 1 и 2 (U ₁₂), можно вычислить, рассматривая замкнутые контуры, приведенные ниже (рис. 1.2). Обычно находят значение U ₁₂ для одного из них, а второй используют для проверки правильности решения. Обращаем внимание, что направления обхода контуров должны совпадать (в данном случае – по часовой стрелке).

 

Рис. 1.2.Независимые контуры к примеру 1.1

 

Уравнение по второму закону Кирхгофа для 1-го контура:  

E ₁ = I (jX_L – jX_C)+ U ₁₂

U ₁₂ = E ₁ – I (jX_L – jX_C) = j 60 – (1 – j)·(j 10 – j 30 )= 20 + j 80(В)

Уравнение по второму закону Кирхгофа для 2-го контура:

– E ₂ = I · R – U ₁₂

U ₁₂ = E ₂ + I · R = j 100 + ( 1 – j)· 20 = 20 + j 80(В)

Так как комплексные значения U ₁₂ совпали для обоих контуров, то найденное решение верно.

Показание вольтметра соответствует действующему значению, т.е. модулю:

3) Определение мощностей.

Полная комплексная мощность S определяется по формуле:

где «+» – если направления ЭДС и тока совпадают, «–» – если не совпадают, I * – сопряженное значение комплексного тока I

Для рассматриваемой задачи

I * = 1 + j (А)

S = E ₁ · I * – E ₂ · I * = (E ₁ – E ₂ )· I * = (j 60 – j 100 )( 1 + j) = 40 – j 40(ВА)

Поскольку S = P + jQ, то

P = Re(S) = 40 Вт

Q = Im (S) = – 40 ВАр

Для проверки можно использовать формулы:

P = I ² · R      Q = Q_L – Q_C = I ² (X_L – X_C)

Выше определено действующее значение тока I =  A, следовательно, I ² = 2 А².

Тогда получим:

P = 2 · 20 = 40 (Вт)

Q = 2×(10 – 30) = – 40 (ВАр)

Получено значение Q = –40 ВАр. Знак «–» говорит о том, что реактивная мощность Q имеет емкостной характер. Значит Q_c = 40ВАр.

Проверим расчетные значения посредством математического моделирования электрической цепи в Mathcad и сравним с результатами измерений токов, потенциалов и мощности, выполненных в Multisim.