По электрическим цепям синусоидального тока

Сборник задач

По электрическим цепям синусоидального тока

С применением различных моделей

В Mathcad и Multisim

Москва

2019

 

Составители: В. Я. Логинов, Ю. А. Беляева,

Л. В. Равичев, И. И. Новикова, Е. А. Семенова

под редакцией проф. Комиссарова Ю.А.

УДК 621.3 (075)

ББК 31.211я73

    K651

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Российского

 химико-технологичеcкого университета

И. Н. Дорохов

Доктор технических наук, профессор Московского государственного университета природоустройства

А. Л. Бирюков

 Сборник задач по электрическим  цепям синусоидального тока с применением различных моделей в Mathcad и Multisim

К651  учеб. пособие / В. Я. Логинов, Ю. А. Беляева, Ю. А., Л. В. Равичев, И. И. Новикова, Е. А. Семенова, под ред. Ю. А. Комиссарова – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2019. – __ с.

ISBN 978-5-7237-1611-7

В пособии излагаются методика решения задач для электрических однофазных и трехфазных цепей переменного тока. В каждом разделе приводится один из методов, дается алгоритм и на конкретном численном примере разбирается последовательность решения задачи. Рассматриваются следующие методы: применения законов Кирхгофа при последовательном и параллельном включении потребителей. Для трехфазных цепей рассматриваются соединения потребителей звездой и треугольником с построением векторных диаграмм. Каждый раздел содержит по тридцать вариантов заданий, что дает возможность каждому студенту получить отдельный вариант, а также предполагает самостоятельную работу студентов с целью закрепления материала. В качестве проверки решения задач приводятся фрагменты моделирования цепей в средах Mathcad и Multisim.

УДК 621.3

ББК 31.2

ISBN 978-5-7237-1611-7

© Российский химико-технологический

                                                    университет им. Д. И. Менделеева, 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение....................................................................................................................4

1. Однофазные электрические цепи синусоидального тока................................5

1.1. Расчет неразветвленных (одноконтурных) электрических цепей..............5

1.2. Расчет разветвленных (параллельных) электрических цепей....................10

2. Трехфазные электрические цепи синусоидального тока................................27

2.1. Соединение трехфазных потребителей электроэнергии звездой.............27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Аварийные режимы в трехфазных цепях по схеме звезда с нейтральным проводом и без него…………………………………………….

2.2. Соединение трехфазных потребителей электроэнергии треугольником..34

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Аварийные режимы в трехфазных цепях по схеме треугольник…………………………………………………………………….

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Метод двух ваттметров………………………………….

Литература………..…………………………………………………………….41

 

ВВЕДЕНИЕ

Читаемый в РХТУ им. Д. И. Менделеева курс по основам электротехники требует освоения практических навыков в решении задач. Только овладев мето­дикой решения задач для электротехнических цепей различной сложности как однофазных, так и трехфазных студенты смогут глубоко и полно понять и усвоить излагаемый на лекциях материал.

Данное учебное пособие включает 4 раздела, в которых приводятся самые эффективные методы решения задач с использованием аппарата комплексных чисел и возможность проверки решения задачи в Mathcad и Multisim. В каждом разделе излагается методика решения на конкретном примере с подробными пояснениями. Затем следует набор конкретных заданий, содержа­щий 30 вариантов. Это дает возможность преподавателю провести контрольные работы в аудитории или дать домашние задания индивидуально каждому сту­денту.

Кроме этого, студенты, освоившие в ходе лабораторных занятий программы математического и имитационного моделирования Mathcad и Multisim, могут легко проверить решение задач, взяв за осно­ву изложенные методики, что бу­дет способствовать углублению их знаний по предмету.

Расчет и анализ однофазных и трехфазных электрических цепей синусоидального тока следует выполнять двумя широко известными методами: экспериментальным и расчетным. В курсе «Электротехники и промышленной электроники» эти методы имеют следующие особенности:

·   Экспериментальный – это имитация эксперимента электрических цепей в различных режимах на компьютере в среде MultiSim (имитационное моделирование).

·   Расчетный – это вычисление основных параметров различных режимов электрических цепей на компьютере в среде MathCad (математическое моделирование).

Приведенное выше разделение моделирования на математическое и имитационное весьма условно, так как основой обоих методов являются численные методы решения на компьютере систем уравнений математического описания физических процессов в электрических цепях. Оба метода, по сути, являются методами математического моделирования. Различие состоит лишь в формальных подходах к моделированию (решению систем уравнений) и графическому представлению результатов:

Ø MultiSim представляет собой систему математического моделирования закрытую, в том смысле, что пользователь имеет возможность из предоставляемых системой элементов самостоятельно строить модели электрических цепей в виде 2D и 3D схем, т.е. формировать задание для моделирования. Собственно моделирование (решение систем уравнений математического описания) и представление результатов при этом выполняется автоматически без участия пользователя. Однако пользователь имеет возможность выполнить настройки системы моделирования и дополнить собственными разработками существующую базу элементов системы MultiSim.

Ø MathCad представляет собой систему математического моделирования открытую, в том смысле, что пользователь имеет возможность самостоятельно строить системы уравнений математического описания процессов, а их решение и представление результатов искать с помощью средств программирования, предоставляемых системой MathCad и другими встраиваемыми приложениями.

Обе вышеописанные системы моделирования имеют свои достоинства и недостатки.

Ø Multisim – единственный в мире интерактивный эмулятор схем, который позволяет создавать лучшие продукты за минимальное время. Является мощным средством описания схем. Включает в себя безрежимное редактирование – наиболее эффективный способ размещения и соединения компонентов, удобное соединение и всестороннюю базу данных. Все эти средства позволяют программно описать схему и немедленно протестировать ее.

С Multisim описание схемы стало как никогда простым и интуитивно понятным. Multisim позволяет пользователям подключать к схеме виртуальные приборы. Концепция виртуальных инструментов – это простой и быстрый способ увидеть результат с помощью имитации реальных событий.

Также в Multisim есть специальные компоненты под названием «интерактивные элементы», которые можно изменять во время эмуляции. К ним относятся переключатели, потенциометры, малейшие изменения элемента сразу отражаются в имитации.

При необходимости более сложного анализа Multisim предлагает более 15 различных функций анализа. Некоторые примеры включают использование переменного тока, Монте-Карло, анализ наиболее неблагоприятных условий и Фурье. В Multisim входит Grapher – мощное средство просмотра и анализа данных эмуляции.

Функции описания и тестирования схемы, представленные в Multisim, помогут любому разработчику схем, сэкономят его время и спасут от ошибок на всем пути разработки схемы.

Ø Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. С точки зрения классификации программного обеспечения, пакет Mathcad — типичный представитель класса PSE-приложений. Пользователи Mathcad — это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты и все, кому приходится проводить математические расчеты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц) Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов:

§ мощный текстовый редактор, позволяющий вводить, редактировать и форматировать как текст, так и математические выражения;

§ вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы;

§ символьный процессор, позволяющий проводить аналитические вычисления и являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта;

§ огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги.

Однако MultiSim в силу своей закрытости является узкоспециализированной системой моделирования процессов только в электрических цепях. Но при этом значительное достоинство MultiSim – высокий уровень автоматизации при моделировании: автоматическое решение систем уравнений, автоматическая подсистема сбора и хранения результатов и автоматическая подсистема графического отображения результатов, как следствие это приводит к значительной экономии времени, затрачиваемого на моделирование.

MathCad считается универсальной системой моделирований, поскольку в силу открытости позволяет моделировать любые процессы, в том числе электротехнические, механические, физико-химические, химико-технологические, и любые другие описываемые математически. Поэтому недостаток MathCad – необходимость построения математического описания объекта моделирования в виде системы уравнений и алгоритма ее решения индивидуально для каждого объекта или группы объектов. 

Обе системы прекрасно дополняют друг друга, углубляя понимание физических основ процессов, позволяя при этом избежать грубых ошибок путем сравнения результатов моделирования. 

 

 

СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Пример 1.1

Рассмотрим алгоритм решения такой задачи на примере схемы, приведенной на рис. 1.1.

н.о.к.

Рис. 1.1. Электрическая схема к примеру 1.1.

Дано:

= j 100(B)

R = 20 Ом, X_L = 10 Ом, X_c = 30 Ом

Найти: Комплексное значение тока I, его действующее значение I; показание вольтметра, включенного между точками 1 и 2; полную комплексную мощность S, активную мощность P и реактивную мощность Q.

Решение:

1) Определение комплексного тока I и его действующего значения I.

Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для заданного замкнутого контура, выбрав н аправление о бхода к онтура (н.о.к) по часовой стрелке (рис. 1.1):

E ₁ – E ₂ = I (R + jX _L – jX _C) = I · Z,

где Z = R + jX_L –  jX_C – полное комплексное сопротивление.

Выразим из уравнения комплексное значение тока I:

                                             (1.1)

Так как значение ЭДС E ₁ в условии задачи приводится в виде мгновенного значения , необходимоперевести его в комплексную форму:

Подставляя E ₁в уравнение (1.1) для определения тока I, получим:

Действующее значение тока I:

2) Определение показания вольтметра, включенного между точками 1 и 2 двумя способами.

2.1) Напряжение на любом участке цепи можно найти, зная потенциалы вдоль контура. Для этого условно примем потенциал в точке 2 равным нулю. Тогда

Если обходить контур навстречу движения тока:

Так как потенциалы в точке 1 совпали, то найденное решение верно.

Показание вольтметра соответствует разности потенциалов между точками 1 и 2, т.е.:

Ниже приведены фрагменты расчета потенциалов вдоль контура в Mathcad, где по найденным значениям потенциалов можно легко построить потенциальную диаграмму. Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциалов от сопротивления вдоль замкнутого контура.

Кроме того, на основании выполненных в Multisim измерений потенциалов (табл. 1.1) также построена потенциальная диаграмма в Excel. Как видно, графики совпали, что говорит о верном расчете потенциалов.

2.2) Напряжение, действующее между точками 1 и 2 (U ₁₂), можно вычислить, рассматривая замкнутые контуры, приведенные ниже (рис. 1.2). Обычно находят значение U ₁₂ для одного из них, а второй используют для проверки правильности решения. Обращаем внимание, что направления обхода контуров должны совпадать (в данном случае – по часовой стрелке).

 

Рис. 1.2.Независимые контуры к примеру 1.1

 

Уравнение по второму закону Кирхгофа для 1-го контура:  

E ₁ = I (jX_L – jX_C)+ U ₁₂

U ₁₂ = E ₁ – I (jX_L – jX_C) = j 60 – (1 – j)·(j 10 – j 30 )= 20 + j 80(В)

Уравнение по второму закону Кирхгофа для 2-го контура:

– E ₂ = I · R – U ₁₂

U ₁₂ = E ₂ + I · R = j 100 + ( 1 – j)· 20 = 20 + j 80(В)

Так как комплексные значения U ₁₂ совпали для обоих контуров, то найденное решение верно.

Показание вольтметра соответствует действующему значению, т.е. модулю:

3) Определение мощностей.

Полная комплексная мощность S определяется по формуле:

где «+» – если направления ЭДС и тока совпадают, «–» – если не совпадают, I * – сопряженное значение комплексного тока I

Для рассматриваемой задачи

I * = 1 + j (А)

S = E ₁ · I * – E ₂ · I * = (E ₁ – E ₂ )· I * = (j 60 – j 100 )( 1 + j) = 40 – j 40(ВА)

Поскольку S = P + jQ, то

P = Re(S) = 40 Вт

Q = Im (S) = – 40 ВАр

Для проверки можно использовать формулы:

P = I ² · R      Q = Q_L – Q_C = I ² (X_L – X_C)

Выше определено действующее значение тока I =  A, следовательно, I ² = 2 А².

Тогда получим:

P = 2 · 20 = 40 (Вт)

Q = 2×(10 – 30) = – 40 (ВАр)

Получено значение Q = –40 ВАр. Знак «–» говорит о том, что реактивная мощность Q имеет емкостной характер. Значит Q_c = 40ВАр.

Проверим расчетные значения посредством математического моделирования электрической цепи в Mathcad и сравним с результатами измерений токов, потенциалов и мощности, выполненных в Multisim.

Таблица 1.1

№ п/п	Наименование точки измерения (пробника)	Сопротивление	Потенциал
		Ом	В
1	2	0	0
2	2.1	0	60
3	2.2	10	51
4	1	40	82,4
5	1.1	40	28,3
6	2	60	0

 

Контрольные задания

Выписать исходные данные из табл. 1.2 в соответствии с заданным вариантом. Определить: комплексное значение тока I, его действующее значение I; показание вольтметра, включенного между точками m и n; полную комплексную мощность S, активную мощность P и реактивную мощность Q.

Примечание. В качестве нулевого потенциала выбрать точку n (точку, в которую направлено напряжение).

Таблица 1.2

Электрические схемы

III

II

I

       

 

Пример 2.1

Рис. 2.2 Электрическая схема к примеру 2.1

 

Дано: U _Л  = 380 В; Z _A = R = 10 Ом; Z_B = X_L = 10 Ом; Z_C = X_C = 10 Ом; Z_N = 100 мкОм.

Найти: комплексные и действующие значения всех токов, включая ток в нейтральном проводе, линейных и фазных напряжений, напряжение смещения нейтрали; активную, реактивную и полную комплексную мощности фаз А, В и С, а также всей трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Результаты решения задачи проверить и представить в Mathcad и/или Multisim.

Решение:

Из условия задачи следует, что рассматривается случай несимметричной нагрузки – сопротивления фаз различны по величине и по характеру. Для расчета фазных и линейных напряжений и токов справедливы соотношения (2.5) – (2.7). Поскольку в схеме есть нейтральный провод и его сопротивление близко к нулю, то U_N = 0 (см. стр. 21).

Решение примера складывается из следующих этапов:

• Комплексные и действующие значения фазных напряжений:

 

• Комплексные и действующие значения линейных напряжений:

 

• Комплексные линейные (фазные) токи:

 

• Комплексное и действующее значение (модуль) тока в нейтральном проводе:

I _N = I _А + I _B + I _C =22 –19 + j 11 + (–19 – j 11) = –16 A,

I _N = | I _N | = 16 A

• Мощность в каждой фазе можно определить по формулам:

где I _ф * – комплексно-сопряженный ток.

Знак «+» у реактивной мощности говорит о том, что нагрузка в данной фазе носит индуктивный характер. Знак «–» − емкостной характер.

• Построение векторной диаграммы (рис.2.3).

Рис. 2.3 Векторная диаграмма для примера 2.1.

Так как U _N = 0, то фазные напряжения равны по модулю (U_A = U_B = U_C) и смещены относительно друг друга на 120°. Для построения векторной диаграммы развернем оси (Re, j) на + 90° (против часовой стрелки). Вектор фазного напряжения U _A направляем по вещественной положительной оси (+ Re), относительно него под углом ±120° строим векторы фазных напряжений U _C и U _B. Векторы линейных напряжений получают, соединяя концы векторов соответствующих фазных напряжений. Векторы фазных токов проводим относительно векторов фазных напряжений в соответствии с характером нагрузки на каждой фазе.

Для фазы A из треугольника сопротивлений фазный угол:

Для фазы В:

 

Для фазы C:

 

Проверку расчета трехфазной цепи соединением звезда осуществляем посредством математического и имитационного моделирования в Mathcad и Multisim. Ниже представлены фрагменты решения в этих приложениях.

 

Второе приближение в расчете можно считать окончательным поскольку расхождение значений фазных токов (погрешность расчета) незначительно.

 

Пример 2.2

Дано: трехфазный потребитель, соединенный треугольником (рис. 2.4).

Найти: комплексные и действующие значения линейных токов (I _A, I _B, I _C), активную, реактивную и полную комплексную мощности фаз АВ, ВС и СА, а также всей трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Результаты решения задачи проверить в Mathcad и/или Multisim.

Решение:

· Комплексные и действующие значения линейных (фазных) напряжений:

· Комплексные и действующие значения фазных токов:

· Комплексные и действующие значения линейных токов:

I _A = I _AB – I _CA = 19 + j 11− j 22  = 19 − j 11 (A)

I _B = I _BC – I _AB  = –11 – j 19 −19 − j 11= −30 − j 30 (A)

I _C = I _CA – I _BC = j 22 – (– 11 – j 19) = 11 + j 41 (A)

· Активную мощность каждой фазы можно определить по двум выражениям:

И так как величины мощностей каждой фазы, рассчитанные по обеим формулам, одинаковы, то это означает, что задача решена правильно.

· Активная мощность всей трехфазной цепи определяется суммой активных мощностей отдельных фаз:

P = P_AB + P_BC + P_CA = 4174 + 4820 + 4192 = 13186 (Вт).

· Реактивную мощность каждой фазы можно также определить по двум выражениям:

· Реактивная мощность всей трехфазной цепи определяется суммой реактивных мощностей отдельных фаз:

Q = Q_AB + Q_BC + Q_CA = -2420 + 0 + 2420 = 0 (Вт).

· Полная комплексная мощность фаз АВ, ВС и СА, а также всей трехфазной цепи.

· Построение векторной диаграммы.

Рис.2.5. Векторная диаграмма к примеру 2.2

Для построения векторной диаграммы развернем оси (Re, j) на +90°. Вектор фазного напряжения U _AB направляем по вещественной положительной оси(+ Re), относительно него под углом ±120° строим векторы фазных напряжений U _CA и U _{BC .}

Векторы фазных токов строим относительно векторов фазных напряжений в соответствии с характером нагрузки на каждой фазе. Для фазы АВ (из треугольника сопротивлений) фазный угол равен:

  φ_AB = arctg  = arctg ,

для фаз ВС и СА соответственно:

φ_BC = arctg = arctg  = 0º,

φ_CA = arctg  = arctg .

Векторы линейных токов получают, соединяя концы векторов соответствующих фазных токов.

Проверку расчета трехфазной цепи осуществляем посредством математического и имитационного моделирования в Mathcad и Multisim. Ниже представлены фрагменты решения в этих приложениях.

Контрольные задания

1. Начертить схему электрической цепи с учетом заданных фазных сопротивлений для определения указанных в табл. 2.2 величин.

2. Для заданного номера варианта в табл. 2.2 определить указанные комплексные и действующие значения линейных токов.

3. Определить значения активной (Р), реактивной (Q) и полной мощностей (S) фаз.

4. Построить векторную диаграмму напряжений и токов, исходя из рассчитанных параметров схемы.

 

Таблица 2.2

Литература

1. Комиссаров Ю. А., Бабокин Г. И. Общая электротехника и электроника:   учеб. пособие для вузов / под ред. П. Д. Саркисова. М.: Химия, 2010. 604 с.

2. Комиссаров Ю. А., Гордеев Л. С., Вент Д. П., Бабокин Г. И. Основы электротехники, микроэлектроники и управления. Теория и расчет. В двух томах/ под ред. П. Д. Саркисова. М.: Химия, 2007. 760 с.

3. Лабораторные и самостоятельные работы по трехфазным цепям синусоидального тока: учеб. пособие / Ю. А. Комиссаров, Е. А. Семенова, Г. Н. Семенов, И. И. Новикова, И. М. Киселева. М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2009. 88 с.

4. Сборник домашних и контрольных заданий для семинаров по электротехнике: учеб. пособие / М. Т. Чирков, О. Ю. Пятин, А. И. Говор и др. М.: МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1988. 53 с.

5. Алгоритмы решения задач по электрическим цепям переменного тока / Ю.А. Комиссаров, И.И. Новикова, Е.А. Семенова, И.В. Хлебалкин, В.В. Лисицина. М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2014. 45 с.

6. Равичев Л.В., Логинов В.Я., Беляева Ю.А., Комиссаров Ю.А. Электротехника и основы электроники, Лабораторный практикум, учебное пособие – М.: РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2018. 76 с.

7. Кирьянов Д.В. Mathcad 15 / Mathcad Prime 1.0. СПб.: БХВ-Петербург, 2012. 432 с.:

 

Учебное издание

ЛОГИНОВ Владимир Яковлевич,

БЕЛЯЕВА Юлия Александровна,

РАВИЧЕВ Леонид Владимирович,

НОВИКОВА Ирина Ивановна,

СЕМЕНОВА Елена Аркадиевна

под редакцией проф. КОМИССАРОВА Юрий Алексеевича

 

 

Сборник задач

В Mathcad и Multisim

 

Редактор

Подписано в печать __.__.2019 г. Формат 60х84 1/16

Усл. печ. л. 4,4. Уч.-изд. л. 4,9. Тираж 300 экз. Заказ.

Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева.

Издательский центр.

Адрес университета и издательского центра: 125047, Москва, Миусская пл., 9

 

Сборник задач

по электрическим цепям синусоидального тока