Решение СЛАУ матричным способом

Определение: Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида                                           (1)

Матрица коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей системы , матрица-столбец свободных членов , матрица-столбец неизвестных .

Если к основной матрице А добавить столбец свободных членов В, получим расширенную матрицу .

Система линейных алгебраических уравнений может быть кратко записана в виде некоторого матричного уравнения .

В этом нетрудно убедиться, перемножив матрицы  и  системы и приравняв их к матрице  (из определения равенства матриц).

Рассмотрим решение такого уравнения.

Пусть А и В известные матрицы, а Х - неизвестная матрица, связанная с матрицами А и В некоторым уравнением. Задача состоит в нахождении матрицы Х.

 

Рассмотрим два основных типа матричных уравнения и их решение.

1 Умножим слева обе части уравнения на матрицу, обратную к А 2 Так как , то получим 3 Умножение на матрицу Е не изменяет матрицу X, поэтому решение уравнения: .

1 Умножим справа обе части уравнение на матрицу, обратную к А 2 Так как , то получим 3 Умножение на матрицу Е не изменяет матрицу X, поэтому решение уравнение: .

 

Таким образом, решение матричных уравнений связано с нахождением обратной матрицы А и умножением ее на матрицу В слева или справа в зависимости от типа уравнения.

 

Пример 1:

Решить уравнение .

– Это уравнение вида , его решение .

– Для матрицы  обратная матрица     .

– Находим матрицу Х:

Ответ: .

Пример 2:

Решить уравнение .

– Это уравнение вида , решение которого .

– Матрица :       .

– Находим матрицу Х:

.

Ответ:   .

 

Примеры для самоконтроля

1  ,                   

2  ,                           

 

Заметим еще раз, что правильность нахождения обратной матрицы можно проверить условием , а правильность решения матричного уравнения – подстановкой найденной матрицы Х в это уравнение.

Формулы Крамера для решения СЛАУ

 

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными (т.е. квадратная система):

, или .

Если , то система имеет единственное решение, т.е. является определенной. Её решение может быть найдено с помощью следующих формул Крамера:                               ,

где

.

 

Замечание: Важно запомнить, что метод Крамера применим только для решения квадратных определенных систем.

 

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:

.

 

Примеры для самоконтроля

1 2         3

Ответы:

1 ;              2 ;  3 .

Ранг матрицы

Определение: Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

 

Из определения ранга следует, что если ранг матрицы равен r, то в матрице имеется хотя бы один минор r -го порядка, не равный нулю, а все миноры (r +1) -го порядка и более высоких порядков равны нулю.

Отметим, что ранг нулевой матрицы  равен нулю, а ненулевой матрицы-строки (столбца) равен единице.

При вычислении ранга матрицы необходимо найти минор максимального порядка, отличный от нуля. В этом случае переходят от миноров меньших порядков (начиная с первого) к минорам больший порядков, придерживаясь следующего правила: пусть найден минор r -го порядка М _ij, отличный от нуля; тогда нужно вычислить лишь миноры (r +1)-го порядка, окаймляющие данный минор. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен r; если же хотя бы один из них отличен от нуля, то эту операцию следует применить к нему, причем в этом случае ранг матрицы заведомо больше r.

Этот метод вычисления носит название метода окаймления.

Так как количество определителей различных порядков, порождаемых матрицей, обычно велико, то вычисление ранга окаймлением очень трудоемко.

Эти вычисления можно сократить, если находить ранг с помощью элементарных преобразований матрицы:

1 Перестановка двух строк (столбцов).

2 Умножение строки (столбца) на некоторое ненулевое число.

3 Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на какое-либо ненулевое число.

4 Исключение из матрицы строки (столбца), состоящей из нулей.

5 Исключение из матрицы строки (столбца), являющейся линейной комбинацией другой строк (столбцов).

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. В результате таких преобразований получают новую матрицу, эквивалентную данной. Для обозначения эквивалентности матриц используют знак ~. Количество линейно независимых строк матрицы определяет ее ранг.

Пример:

Применяя элементарные преобразования, определить ранг матрицы .

Решение:

~ ~

Строки 2, 3 и 4 линейно зависимы, можно вычеркнуть из матрицы третью и четвертую строку, получим

~ .

Получили матрицу, состоящую из двух линейно независимых строк.

Следовательно, ранг исходной матрицы А равен 2 ().