Определители высших порядков

Метод вычисления определителей высших порядков состоит в последовательном понижении порядка определителя вплоть до второго. При этом необходимо сочетать разложение определителя по элементам какого-либо ряда с предварительным занулением всех его элементов, кроме одного. Тогда, например, вычисление определителя 4-го порядка можно свести к вычислению одного определителя 3-го порядка, а вычисление этого определителя – вычислению одного определителя 2-го порядка.

Рассмотрим способы вычисления определителей на следующих примерах:

1) ;             2) .

1 способ. Получим нули, например, вместо чисел (-1), 2 и 1 в третьем столбце. Для этого элементы строки умножим на 1, (-2) и (-1) и прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей и 4-ой строкам. Получим:

Раскладываем по элементам 3-го столбца:

 

2 способ. Приведем определитель к треугольному виду.

Получим определитель так называемой верхней треугольной матрицы, в которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящие на главной диагонали.

Примеры для самоконтроля

 

           

Обратная матрица

Определение: Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Определение: Матрица  называется обратной для невырожденной матрицы А, если произведение матриц А и  равно единичной матрице:

.

Итак, обратная матрица существует, если исходная матрица квадратная имеет отличный от нуля определитель.

 

Схема нахождения обратной матрицы

1 Вычисляем определитель матрицы А. Если , делаем вывод, что обратная матрица существует.

2 Транспонируем данную матрицу.

3 Составляем союзную матрицу , элементами которой являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

4 Все элементы матрицы  делим на величину определителя матрицы А.

 

Формулу для нахождения обратной матрицы можно записать в виде

Пример1: Найти матрицу обратную к данной .

Решение:

Действуем по схеме:

1  – существует.

2 Транспонируем данную матрицу: .

3 Составляем союзную матрицу: на место каждого элемента матрицы  ставится его алгебраическое дополнение:

            

             

Союзная матрица: .

4 Находим обратную матрицу:

.

Проверка: Произведение

 

Пример2: Найти матрицу, обратную данной .

Решение:

1

.

2 .

3Находим союзную матрицу:

               

Итак, союзная матрица .

4 . Проверку сделать самостоятельно.

 

Примеры для самоконтроля

Найти обратные матрицы для данных.

1     2           3

4 5 6

Ответы:

1)                      2)              3)

4)   5)       6)

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)