Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
В результате получили общее решение
. (5) Для того чтобы уравнение (5) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям. При х = 0 , находим Þ Þ с2 = 0 Следовательно, частное решение – должно быть отброшено как не удовлетворяющее граничным условиям. Если учесть, что с2 = 0 и обозначить с1с3 = А, то уравнение (5) примет вид: . При х = d Þ ½ умножив и разделив на d, получим: , - число Био – безразмерный показатель (характеризует соотношения внутреннего и внешнего тепловых сопротивлений). Если обозначить k d = m, то: (1)
Рис. 13 К решению уравнения (1).
Из анализа этого уравнения следует, что при каждом значении В i существует бесконечное множество решений. Наиболее просто это равнение решается графическим способом. Обозначим через y 1 = с tg m, . Пересечение котангенсоиды у1 с прямой у2 дает бесконечное множество корней характеристического уравнения m 1 < m 2 < m 3 <…< m n (рис. 13). Каждому значению Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (1). Первые четыре корня такого уравнения приводятся в таблице. При В i ® ¥ (внутреннее сопротивление велико по сравнению с внешним) у2 = 0 – совпадает с осью х и корни будут равны: m 1 = p /2; m 2 = 3 p /2; m n = (2 n -1) p /2 При В i ® 0 (внутреннее сопротивление мало по сравнению с внешним) прямая совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона стремиться к ¥ ® корни равны: m 1 = 0; m 2 = p,…, m n = (n -1) p. Следовательно, каждому найденному значению корня m будет соответствовать свое частное распределение температур: , здесь мы учли, что k = μ/δ. Путем наложения бесконечного числа таких распределений температур можно получить истинное распределение: . (а) Постоянная Аn находится из начальных условий: . Это есть разложение четной функции в ряд Фурье. Есть специальные формулы для определения коэффициентов Аn. . Если в начальный момент времени t = 0 температура в любой точке пластины распределена равномерно (Т0 – Тж = θ 0 = const), то: . Подставляя А n в выражение (а), получим . (б) Уравнение температурного поля (б) целесообразно представить в безразмерной форме. Для этого разделим правую и левую части уравнения на θ 0 (начальная разность температур). При этом обозначим: Dn = А n / θ 0. Получим:
, (в) где Q = θ / θ 0 – безразмерная температура; Х = х/ d - безразмерная координата; Fo = aτ /δ2 – число Фурье, представляющее собой безразмерное время; Dn = А n / θ 0 – безразмерный коэффициент. Получим, что температура каждой точки во времени изменяется по экспоненциальному закону. Распределение температуры по координате х (по толщине) – имеет вид косинусоиды с максимумом в центре пластины. Анализ полученного решения Так как m 1, m 2, …, m n – ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n. Исследования показали, что уже при Fo ³ 0,3 ряд (в) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда . Величина D 1 является только функцией числа Bi (так как m n = f (В i)) и заранее может быть рассчитана и табулирована. Если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/ d, то и cos (m 1 Х) является функцией В i (так как m 1 = f (В i)). Для оси пластины: Х = х/ d = 0 ® cos (m 1 0) = 1 Для поверхности: Х = х/ d = 1® cos (m 1 1) = cos m 1. Тогда для оси пластины произведение D 1 cos (0) обозначим как некоторую функцию N (Bi): . (1) Для поверхности пластины D 1 cos m 1 – обозначим через Р(Bi): . (2) Функции N (Bi) и Р(Bi) табулированы и берутся из справочников. Из уравнений (1) и (2) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией 2-х безразмерных параметров Bi и Fo. . Логарифмируя уравнение (1), получаем . (3) Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (2). Из уравнения (3) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Это позволяет представить для уравнений (1) и (2) графическое решение (рис. 14).
Рис. 14 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении
Из уравнения (в) для Q следует: поле температуры имеет вид симметричной кривой косинусоиды с максимумом на оси пластины (Х =0). Физический смысл: в первые моменты времени перепад температур между серединой пластины и краем максимальный. Это объясняется тем, что сначала охлаждаются наружные слои пластины. Затем начинают остывать слои ближе к центру пластины. Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. Кривизна этих кривых зависит от условий однозначности. Для бесконечно длинного цилиндрического стержня вывод соотношений для температуры аналогичен рассмотренному выше для плоской стенки.
Охлаждение параллелепипеда Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой Тж. В начальный момент времени (при t = 0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру Т0. Параллелепипед однородный и изотропный (рис. 15). Найти: распределение температур и среднюю температуру.
Рис. 15 К охлаждению параллелепипеда
Поместим начало координат в центре параллелепипеда. Дифференциальное уравнение теплопроводности: . Начальные условия: При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Введя обозначения , запишем граничные условия: а) для наружной поверхности при t > 0: - б) в центре параллелепипеда: . Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные при пересечении соответственно: 3-х взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины; цилиндра и пластины и 2-х пластин. Доказано, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассмотренное тело. Для параллелепипеда решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин: , (1) где ; ; . То есть, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелась к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (1) можно представить в виде: , где ; ; ; ; . Данный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Средняя температура находится аналогично. Скорость распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тела к их объему. Чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 75; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.130.13 (0.015 с.) |