Методы изучения физических явлений

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНАГРЕВА

ВВЕДЕНИЕ

Процессы теплообмена и связанного с ним массообмена играют исключительную роль в природе и технике. Действительно, от них зависит температурный режим окружающей среды. От них зависит протекание рабочего процесса в самых разных технологических установках. Неудивительно поэтому, что теория теплообмена интенсивно развивалась, особенно в последние десятилетия. Это связанно с потребностями теплоэнергетики, атомной энергетики, космонавтики.

Интенсификация различных технологических процессов, а также создание оптимальных с точки зрения энергозатрат установок немыслимо без глубокого изучения теплофизических процессов, которые имеют место в этих установках.

Цель курса – познакомить слушателей с осно­вами теплопередачи, которые происходят в различных электротехнологических установках. В курсе мы рассмотрим коротко основные методы решения задач теплопроводности, в том числе и численные методы с применением компьютерной техники. Один из разделов будет посвящен кон­вективному и радиационному теплообмену. В конце курса рассмот­рим решение задачи теплопроводности с помощью численного ме­тода – метода конечных элементов.

Тепловые процессы в ЭТУ – это довольно сложные физиче­ские явления. При анализе физических процессов необходимо выяс­нить их движущие силы. При этом сложные процессы часто рас­сматривают как совокупность простых явлений. То есть, неизбежны некоторые упрощения. Так обстоит дело и при изучении теплопере­носа. Обычно эти процессы теплопереноса связаны с процессами массообмена. В совокупности эти явления рассматриваются в про­цессах сушки, испарения, когда передача тепла обусловлена не только собственно теплопередачей, но и движением массы испаряе­мой влаги.

Во многих процессах теплообработки, массообмен не играет существенной роли. Например, при нагреве различных твердых объ­ектов. В нашем курсе в большинстве случаев мы будем пренебрегать процессами массообмена.

В соответствии с поставленными задачами данный курс  обычно подразделялся на две части:

- в первой части (основной) мы будем рассматривать различ­ные виды теплообмена (теплопроводность, конвективный и радиационный теплообмен);

- во второй части – рассмотрим теоретические основы электронагрева в различных установках: в печах сопротивле­ния, в установках индукционного, дугового, диэлектриче­ского, плазменного нагрева, в электронно-лучевых нагре­вательных установках.

В учебной программе бакалавров из-за ограниченности часов лекций рассматривается только 1-я часть, а процессы термообработки в различных установках изучаются в соответствующих спецкурсах.

Теория теплопроводности

При анализе любого физического процесса исследователь пы­тается выяснить движущие силы процесса, и если это можно пред­ставить в виде простых процессов, то есть упрощение неизбежно.

Механизмы переноса тепла

Теплообмен – необратимые самопроизвольные процессы распространения теплоты в пространстве. Осуществляется тремя спо­собами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Теплопроводность – молекулярный перенос теплоты в телах (или между ними), обусловленный переменностью теплоты в про­странстве. Наблюдается в твердых телах.

Конвекция – возможна только в текучей среде – это процесс переноса теплоты при перемещении объемов жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой температурой, то есть за счет переноса самой среды. Это перемещение нагретого воздуха вверх за счет того, что он имеет меньшую плот­ность.

Тепловое излучение – процесс распространения теплоты с по­мощью электромагнитных волн, обусловленный только температу­рой и оптическими свойствами излучающего тела; при этом энергия внутренняя переходит в энергию излучения.

Теплообмен излуче­нием – процесс превращения внутренней энергии вещества в энер­гию излучения, переноса излучения и его поглощения веществом.

В природе и технике элементарные процессы распространения теплоты очень часто происходят совместно.

Теплопроводность в чистом виде большей частью имеет место лишь в твердых телах. Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью. Совместный перенос теплоты конвекцией и те­плопроводностью называется конвективным теплообменом.

Процессы теплопроводности и конвективного теплообмена могут сопровождаться теплообменом излучением. Теплообмен, обусловленный совместным переносом теплоты излучением и тепло­проводностью, называют радиационно-кондуктивным теплообме­ном. Если перенос теплоты осуществляется дополнительно и кон­векцией, то такой процесс называют радиационно-конвективным те­плообменом. Иногда такие виды теплообмена называют сложным теплообменом.

Температурное поле

Явление теплопроводности – процесс распространения энер­гии при непосредственном соприкосновении отдельных частиц тела, имеющих различные температуры. Теплопроводность обусловлена движением микрочастиц вещества.

В газах перенос энергии осуществляется за счет диффузии мо­лекул и атомов, а в жидких и твердых телах - диэлектриках – путем упругих волн. В металлах перенос энергии осуществляется за счет свободных электронов. Хорошие электрические провод­ники хорошо проводят тепло – медный таз.

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, имеет место при условии разности температуры в различных точках тела.

Поэтому аналитическое исследование теплопроводности сво­дится к изучению пространственно-временного изменения темпера­туры. Пример: охлаждение заготовки.

T = f (x, y, z, t) – температурное поле

Температурное поле – это совокупность значений темпера­туры во всех точках пространства для каждого момента времени.

T = f ₁ (x, y, z, t); ¶ T / ¶ t = 0 стационарное

Температурный градиент

n

Изотермы – линии, содержащие точки тела с одинаковой температурой (рис. 1). Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотер­мической поверхности.

- градиент тем­пературы – вектор на­правленный по нормали к изотермической поверхно­сти в сторону возрастания.

 

Рис.1 Изотермы

Тепловой поток. Закон Фурье

Для передачи тепла grad T ¹ 0.

Гипотеза Фурье: количество тепла dQ _t, Дж, проходящее через элементарную изотермическую поверхность dF за время d t, пропорционально температурному градиенту.

,

где l - коэффициент теплопроводности, характеризующий способность вещества проводить теплоту.

Плотность теплового потока – количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермиче­ской поверхности.

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности – в сторону убывания температуры (теплота передается от горячего к холодному).

.

Линии теплового потока – линии, касательные к которым сов­падают с направлением вектора q.

Скалярная величина вектора плотности теплового потока имеет вид:

.

 Закон Фурье – основной закон теплопроводности.

Тепловой  поток – количество теплоты проходящей в единицу времени через изотермическую поверхность F.

.

Полное ко­личество теплоты:

.

Уравнение теплопроводности

Используется метод математической физики (ограничивается расстоянием элементарного объема и малого отрезка времени). Для решения задачи определения температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

Допущения: тело однородно и изотропно, физические параметры – const, деформация объема (в связи с изменением температуры) мала, внутренние источники теплоты распределены равномерно.

 

 

Рис. 2  К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

 

Выделим в объеме тела параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 2).

В основе вывода лежит закон сохранения энергии.

,

где dQ ₁ – количество теплоты, введенное теплопроводностью; dQ ₂ – количество теплоты за счет внутренних источников энергии; dQ – изменение внутренней энергии (энтальпия).

.

Но  можно разложить в ряд Тейлора (как непрерывную функцию) и если ограничиться двумя первыми членами рядя, то:

.

Тогда

.

В твердых телах по закону Фурье:

.

Частные случаи.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (при l = const)

.

При l = const  – коэффициент температуропроводности (мера теплоинерционности), м²/с.

Уравнение Фурье (без источников тепла q_v = 0):

.

Дифференциальное уравнение Пуассона (поле стационарное, q_v ¹ 0)

.

Уравнение Лапласа (при стационарной теплопроводности, q_v = 0):

.

В цилиндрической системе координат

.

Здесь Ñ - оператор Гамильтона (набла)

.

Оператор Лапласа:

.

.

Лекция № 2 Условия однозначности для процессов

Теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. То есть это уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса – условия однозначности или краевые условия.

Граничные условия:

1-го рода - задается распределение температур на поверхности

T_c = f (x, y, z, t).

2-го рода - задается значения теплового потока на поверхности. Пример - пленка резистора.

q _п = f (x, y, z, t) или q _п = const.

3-го рода – задается температура жидкой среды и закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой (закон Ньютона – Рихмана).

q = a (Т_с – Т_ж),

где a - коэффициент теплоотдачи (в общем случае зависит от температуры)

a (Т_с – Т_ж) = - l (¶ Т/ ¶ n)_с

или - (¶ Т/ ¶ n)_с = a / l (Т_с – Т_ж) – частный случай закона сохранения энергии

4-го рода – условия сопряженности – условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела.

l ₁ (¶ T ₁ / ¶ n)_г = l ₂ (¶ T ₂ / ¶ n)_г + q_s (x _г, y _г, z _г, t),

t ₁ (x _г, y _г, z _г, t) = t ₂ (x _г, y _г, z _г, t),

где q_s – источник теплоты на поверхности границы

Поставленная таким образом задача решается аналитически, численно или экспериментально.

Многослойная стенка

Складываем левую и правую части уравнений.

Таким образом, для любой многослойной стенки, температурный напор можно определить:

.

Тепловой поток, проходящий через многослойную стенку:

,

где   – полное термическое сопротивление многослойной стенки.

Плотность теплового потока

.

Количество теплоты, передаваемое через сферическую поверхность в единицу времени

.

 

Лекция № 3

Анализ полученного решения

Так как m ₁, m ₂, …, m _n – ряд возрастающих чисел, то чем больше m, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

Исследования показали, что уже при Fo ³ 0,3 ряд (в) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда

.

Величина D ₁  является только функцией числа Bi (так как m _n = f (В i)) и заранее может быть рассчитана и табулирована.

Если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/ d, то и cos (m ₁ Х) является функцией В i (так как m ₁ = f (В i)).

Для оси пластины: Х = х/ d = 0 ® cos (m ₁ 0) = 1

Для поверхности: Х = х/ d = 1® cos (m ₁ 1) = cos m ₁.

Тогда для оси пластины произведение D ₁ cos (0) обозначим как некоторую функцию N (Bi):                                             

.                                     (1)

Для поверхности пластины D ₁ cos m ₁ – обозначим через Р(Bi):

                    .                                      (2)

Функции N (Bi) и Р(Bi) табулированы и берутся из справочников. Из уравнений (1) и (2) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией 2-х безразмерных параметров Bi и Fo.  

.

Логарифмируя уравнение (1), получаем

       .                                (3)

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (2).

Из уравнения (3) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Это позволяет представить для уравнений (1) и (2) графическое решение (рис. 14).

 

 

 

Рис. 14 Изменение температурного поля в плоской неограниченной стенке при ее охлаждении

 

Из уравнения (в) для Q следует: поле температуры имеет вид симметричной кривой косинусоиды с максимумом на оси пластины (Х =0).

Физический смысл: в первые моменты времени перепад температур между серединой пластины и краем максимальный. Это объясняется тем, что сначала охлаждаются наружные слои пластины. Затем начинают остывать слои ближе к центру пластины.  

Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. Кривизна этих кривых зависит от условий однозначности.

Для бесконечно длинного цилиндрического стержня вывод соотношений для температуры аналогичен рассмотренному выше для плоской стенки.

 

                        Охлаждение параллелепипеда

 Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой Т_ж. В начальный момент времени (при t = 0) все точки параллелепипеда имеют одинаковую температуру Т₀. Параллелепипед однородный и изотропный (рис. 15).

Найти: распределение температур и среднюю температуру.

 

 

Рис. 15 К охлаждению параллелепипеда

 

Поместим начало координат в центре параллелепипеда. Дифференциальное уравнение теплопроводности:

.

Начальные условия:

При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Введя обозначения , запишем граничные условия:

а) для наружной поверхности при t > 0:

-

б) в центре параллелепипеда:

.

Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные при пересечении соответственно: 3-х взаимно перпендикулярных неограниченных пластин конечной толщины; цилиндра и пластины и 2-х пластин.

Доказано, что решение таких задач представляется произведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассмотренное тело.

Для параллелепипеда решение можно представить как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин:

                                                                    _,                                           (1)

где ; ; .

То есть, решение задачи для рассматриваемого тела конечных размеров свелась к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (1) можно представить в виде:

,

где ; ; ; ; .

Данный метод известен в теории теплопроводности под названием теоремы о перемножении решений. Средняя температура находится аналогично.

Скорость распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тела к их объему. Чем больше отношение поверхности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше.

Метод конечных разностей

Аналитические решения, полученные путем непосредственно интегрирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность этому в основу численных методов вычисляется температура в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, то при помощи численных методов всегда возможно, по крайней мере, приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Из численных методов широко используется метод конечных разностей (метод сеток).

Ограниченность численных методов по сравнению с аналитическими состоит в том, что в первом случае решается только одна конкретная задача и любое изменение параметров требует нового решения.

В методе конечных разностей область непрерывного изменения аргументов x, y, z, t  заменяется сеткой – конечным (дискретным) множеством точек, называемых узлами. Разности значений одних и тех же аргументов для двух смежных узлов D x, D y, D z, D t называется шагами изменения этих аргументов.

Дифференциальное уравнение теплопроводности заменяется на сетке разностной схемой или уравнением в конечных разностях. После того, как и краевые условия тоже заменены разностными схемами, получаем систему алгебраических уравнений в конечных разностях с числом неизвестных (температур), равным числу узлов сетки (уравнений).

Важнейшие свойства разностных схем: аппроксимируемость, устойчивость и сходимость.

Аппроксимируемость схемы означает, что при стремлении к нулю шагов аргументов решение системы алгебраических уравнений стремиться к решению исходного дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях.

Устойчивой называют такую схему, для которой ошибки округления, неизбежные при всяком счете, при уменьшении шагов аргументов (сгущение сетки) не приводят к большим искажениям решения. В противном случае схема называется неустойчивой.

Сходимость схемы означает, что при сгущение сетки решение системы алгебраических уравнений приближается (сходиться) к решению дифференциальное уравнения при заданных краевых условиях. Сходимость – следствие одновременных аппроксимируемости и устойчивости.

Рассмотрим метод конечных разностей (МКР) для решения уравнения двумерной стационарной теплопроводности в изотропном материале без источников теплоты. Уравнение имеет вид:

                                       (1)

 

                                                     

 

Рис. 19 Сетка узловых точек

 

На теплопроводящую пластинку нанесена сетка. Температуры в точке 0 и узлах сетки 1, 2, 3, 4 обозначим соответственно Т ₀, Т ₁, Т ₂, Т ₃, Т ₄.

Градиент температур в направлении оси х для точки 0¹ можно записать в виде:

,

где члены высшего порядка малости не учитываются. Точность такого равенства возрастает с уменьшением D х.

Аналогично для точки 0 ²:

,

Теперь можно определить вторую производную в направлении оси х для точки 0:

.

Таким же образом можно определить 2-ую производную в направлении оси у для точки 0:

.

Подставляя полученные выражения в уравнения (1) и при условии D х = D у = D, получим разностную схему:

или

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ - 4Т₀ = 0,                                   (2)

.

Аналогичные уравнения можно записать для каждого узла (!).

Из уравнения (2) следует, что температура в любом узле плоской стенки есть среднее арифметическое температур в соседних четырех узлах сетки. Это условие положено в основу одного из методов численного решения задач теплопроводности, который называется релаксационным.

Этот метод состоит в следующем. В узлах сетки записываются ожидаемые, но произвольно выбранные температуры. В общем случае они не будут удовлетворять условию (2). Если Т₀ окажется больше среднего арифметического температур Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, то это значит, что в точке 0 находится источник теплоты, если меньше, то сток теплоты. В этих случаях разностная схема примет вид:

                       Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ - 4Т₀ = R ₀,                         (3а)

где  - остаток для точки 0,                     (3)

где q_v – объемная плотность теплового потока в точке 0.

Для всех узлов сетки найдем остаток по уравнения (3). Там, где остаток окажется наибольшим по абсолютной величине, значения температуры выбраны наименее удачно. То есть они больше, чем во всех узлах отличаются от действительных.

Пусть в точке 0 величина R наибольшая. Тогда наибольший остаток делят на 4 и добавляют ¼ R ₀ к остаткам соседних четырех точек, а температуру узла, где находился наибольший остаток, увеличивают на ¼ первоначального остатка. Из уравнения (3а) видно, что теперь остаток в узле 0 станет равным нулю:

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ – 4Т ^¢ ₀ = 0,

где Т ^¢ ₀ = Т₀ + ¼ R ₀.

Остатки в точках 1, 2, 3, 4 увеличиваются на ¼ R ₀, например, в точке 1:

R ^¢ ₁ = R ₁ + ¼ R ₀.

Далее все операции нужно повторить для следующего узла с небольшим остатком. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока все остатки внутренних узлов сетки обратятся в нуль или будут пренебрежимо малыми. Результирующие температуры в узлах сетки составят искомое решение. То есть время, затрачиваемое на решение задачи, будет тем меньше, чем удачнее выбраны ожидаемые температуры в узлах сетки.

Выбор этих температур проводят следующим образом. Вначале наносят сетку с крупными ячейками и малым числом узлов. После решения задачи для крупной сетки уменьшают размеры ячеек, а найденные в предыдущем расчете температуры используются для нахождения температуры в узлах второй более мелкой сетки. Продолжая этот процесс, можно достаточно точно и быстро определить температуры в узлах сетки.

Условие (2) можно распространить на случай 3-х мерного температурного поля, для которого оно имеет вид:

Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄ + Т₅ + Т₆ – 6Т₀ = 0

Метод релаксации обычно используется для предварительной оценки температурного поля. Этот метод применяется для решения системы разностных уравнений вручную, а на ЭВМ он трудно осуществим, так как на них быстрее и дешевле работать с уравнениями в циклическом порядке. Чем искать наибольшие остатки. Поэтому для решения больших температурных полей целесообразно использовать итерационные методы решения системы разностных уравнений, например метод Зейделя.

Следует отметить, что не всегда измельчение сетки приводит при численном методе к уточнению стационарного температурного поля.

Для конкретной задачи метод может оказаться неустойчивым, то есть при измельчение сетки будет давать решение, все более отличающееся от истинного.

Метод конечных элементов

Решение задач теплопроводности может быть получено ещё одним численным методом – методом конечных элементов (МКЭ). Преимущества: математической основой метода  является вариационное исчисление. В отличие от МКР, в котором исходные дифференциальное уравнения непосредственно используются для построения разностных схем, в МКЭ дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно.

Этот метод нашел весьма широкое распространение благодаря своей универсальности. С его помощью решают не только задачи теплопроводности, но и рассчитывают конструкции на прочность, решают задачи электродинамики, гидравлики и т.д. Широко используют МКЭ в системе САПР.

Рассмотрим основы МКЭ. Пусть требуется найти стационарное распределение температуры Т(х, у) в двумерной области G с границей S. Для изотропного материала и при учете внутренних источников теплоты математическая постановка задачи в дифференциальной форме имеет вид:      

                                                                                                                                   S  a; T_¥

              .         (1)  

Граничное условие на границе S:

            ,           (2)

где l - коэффициент теплопроводности; q_v – объемное тепловыделение;

  Q – поверхностная плотность теплового потока; a - коэффициент теплоотдачи; T _¥ - температура окружающей среды.

В вариационном исчислении установлено, что решение Т(х, у), удовлетворяющее условиям (1) и (2) совпадает с функцией Т(х, у), которая минимизирует функционал

,

(3)

где G – рассматриваемая область; S – наружная поверхность, в которой имеет место теплоотдача; Т(х, у) – функция из допустимого множества пробных функций. Для задач теплопроводности пробные функции Т(х, у)  является допустимыми, если они непрерывны и имеют кусочно-прерывные производные. Кроме того, пробные функции должны удовлетворять главным граничным условиям (2).

Таким образом, функционал (3) является эквивалентной вариационной постановкой исходной задачи (1) – (2).

Основными этапами решения данной задачи с помощью МКЭ  является следующее:

1) Вначале область решения разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Выбор размеров и формы элементов в общем случае произволен. Элементы для плоского тела обычно имеют треугольную или четырехугольную форму.

2) Разбиение области решения на конечные элементы и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал (3) в виде суммы функционалов по элементам                                           

,                                         k (4)

где J_i – функционал вида (3) для i – го конечного элемента i;  i          j

n – число конечных элементов.                                     

3). На каждом конечном элементе температура Т(х, у) аппроксимируется пробной функцией Т(х, у). В качестве пробных функций обычно выбираются полиномы различных степеней. Например, температуру в элементе можно выразить в виде (линейно зависит от координат):

,

где T_i, T_j, T_k – температуры в узлах треугольного элемента; N_i, N_j, N_k – функции формы, зависящие от координат узлов.

Значение температуры в узлах сетки являются искомыми, поэтому для получения приближенного решения задачи необходимо «отрегулировать» эти значения температур таким образом, чтобы обеспечить минимум функционала (4).

Условием минимума функционала является равенство нулю первых производных от него по температурам во всех узлах сетки

                            

,

где .

В результате дифференцирования по всем неизвестным температурам получается система линейных алгебраических уравнений. В матричной форме она имеет вид

                            ,

где  и  - матрица теплопроводности зависит от n и вектор нагрузки элемента (зависит от Q, q_v и граничных условий); - вектор узловых температур.

Последующее решение этой системы уравнений с помощью ЭВМ дает приближенное решение исходной задачи.

К достоинствам МКЭ относится простота аппроксимации тел со сложной геометрической формой и сложными граничными условиями.

Недостатком можно считать относительную сложность программирования для ЭВМ и применение ЭВМ с большим объемом оперативной памяти.

 

Лекция № 6

Электротепловая аналогия

Явления теплопроводности и электропроводности описываются следующими уравнениями:

,

где dQ и dI – элементарные потоки теплоты и электричества, прошедшие в единицу времени через площадки dF _т, dF _э в направлении нормалей n _т и n _э; U и Т – электрический потенциал и температура; l и s - коэффициенты теплопроводности и электропроводности.

В случае двумерных стационарных задач тепло- и электропроводности и независимых от температуры параметрах l и s соответствующие дифференциальное уравнения имеют вид:

;

.

Эти уравнения имеют одинаковую структуру. Аналогичные явления должны протекать в геометрически подобных системах. Граничные условия также описываются аналогичными соотношениями.

- l g r adT = aDT Þ

Þ - gr ad T = DT/(l/a) = DT/l_т – для тепловой задачи

- gr ad U = DU/l_э – для электрической задачи.

Записав уравнения и граничные условия в безразмерной форме, получим тождественные уравнения.

Вывод: таким образом, видим, что распределение температуры и электрического потенциала являются подобными, то есть имеет место аналогия.

При исследовании нестационарных процессов для одномерных областей исходные дифференциальное уравнения тепло- и электропроводности имеют вид

                        ¶Т/¶t = а ∙ ¶Т²/¶х_т²;      (1)  

 

                   ¶U/¶t = (1/R_эC_э )∙¶²U/¶x_э²,   (2)  

 

Скорость протекания процессов зависит от а и 1/R_эC_э,

 

где R _э - электрическое сопротивление на единицу длины;

C _э - электрическая емкость на единицу длины.

Эти коэффициенты, как и коэффициент температуропроводности, не должны зависеть от температуры.

Из уравнений (1) и (2) следует, что аналогия устанавливается, если выполняется условие:

Изменение теплового потока пропорционально изменению теплоемкости системы и изменению температуры:

dQ = c_т(¶T/¶t_т) dt_т.

Изменение электрическое тока пропорционально емкости и изменению напряжения

dI = c_э (¶U/¶t_э ) dt_э.

Следовательно, в модели теплоемкости могут быть воспроизведены соответствующими электрическими емкостями. Таким образом, можно моделировать процессы теплопроводности на электрических моделях.

При разработке электрических моделей, имитирующих процессы теплопроводности, применяются два способа:

1) электрические модели повторяют геометрию оригинальной тепловой системы и изготовляются из материала с непрерывной проводимостью (электропроводящее тело или жидкий электролит) – модели с непрерывными параметрами процесса;

2) электрические модели с сосредоточенными параметрами процесса. В них тепловые системы заменяются моделирующими электрическими цепями. Также модели применяются для наиболее сложных явлений.