Среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик вы­борки.

Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки.

Для не сгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле: 

,

где n - объем выборки, х ₁, х ₂,... х _n - результаты измерений.

    Для сгруппированных данных:

,

где n - объем выборки, k – число интервалов группировки, n_i – частоты интервалов, x_i – срединные значения интервалов.

 

Мода

Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных вы­борки. Обозначается Мо и определяетсяпо формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала,  - ширина интервала группи­ровки, - частота модального интервала, - частота интервала, предшествую­щего модальному, - частота интервала, последующего за модаль­ным.

Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величины называется наиболее вероятное её значение.

Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения. Бывают двухмодальные и многомодальные распределения. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называются антимодальными.

Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой.

Медиана

Определение. Медиана - результат измерения, который находится в сере­дине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме.

Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда.

Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по фор­муле:

,

где - нижняя граница медианного интервала;  ширина интервала группи­ровки, 0,5 n – половина объёма выборки, - частота медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

    Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n / 2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

    Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.