Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
N- мерное векторное пространство
Упорядоченная совокупность n действительных чисел x1,x2,…,xn называется n -мерным арифметическим вектором и обозначается х =(x1,…,x2,xn), где xi – i-тая компонента вектора x (i= ). Два вектора x =(x1,x2,...,xn) и y =(y1,y2,…,yn) называются равными (х = у), если равны их соответствующие компоненты, т.е. x1=y1, x2=y2,…,xn=yn. Суммой двух векторов x =(x1,x2,…,xn) и y =(y1,y2,…,yn) называется вектор z = x + y =(x1+y1, x2+y2,…,xn+yn). Произведением вектора x на число α R называется вектор u =α x =(αx1, αx2,…,αxn). Вектор 0 =(0,0,…,0) называется нулевым, а вектор –x=(-x1, -x2,…, -xn) – противоположным к вектору x =(x1,x2,…,xn). Введенные операции сложения n-мерных векторов и умножение их на действительное число подчиняются аксиомам линейного пространства. Множество всех n-мерных арифметических векторов, в котором определены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется n -мерным арифметическим векторным пространством и обозначается Rn. Системой векторов линейного пространства L называется любая конечная последовательность элементов этого пространства. Пусть задана система векторов a 1, а2,…,аk (1) линейного пространства L (а i ÎL, i= ). Подсистемами данной системы векторов (1) называются сама эта система и любая система, получаемая из нее путем вычеркивания некоторых элементов. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор а L, имеющий вид а =α1 а1 +α2 а2 +…+αk a k = αi ai, (2) где α1, α2,…, αK– любые действительные числа. При наличии равенства (2) говорят так же, что вектор а линейно выражается через векторы системы (1) или разлагается по этим векторам. Пример 2. Найти все значения m, при которых вектор b =(1,m,3) линейно выражается через векторы а1 =(2,3,7), а2 =(3,-2,4), а3 =(-1,1,-1). Решение. Вектор b линейно выражается через векторы а1, а2, а3, если существуют числа α1, α2, α3 такие, что b =α1 а1 +α2 а2 +α3 а3 или α1 α2 +α3 . Перейдя к покомпонентным равенствам, получим систему: Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее:
Система является совместной, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Это возможность только в том случае, когда 1-m=0, т.е. m=1. Следовательно, вектор b является линейной комбинацией векторов а1, а2, а3 при m=1.
Cистема векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа α1, α2, …, αK R, не равные нулю одновременно, что α1 а1 +α2 а2 +…+α k а k = 0 (3) Если система векторов (1) такова, что равенство (3) возможно только при α1=α2=…=αk=0, то это система называется линейно независимой. Пример 3. Выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов: а1 =(1,-1,2,1), а2 =(1,-1,1,2), а3 =(1,-1,4,-1). Решение. Векторы а1, а2, а3 линейно зависимы, если существуют такие числа α1, α2, α3, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что будет выполняться равенство α1 а1 +α2 а2 +α3 а3 = 0. В последнее равенство вместо векторов а1, а2, а3, 0 подставим их компоненты и перейдем к компонентным равенствам: α1 +α2 +α3 = . Тогда получим систему Решая последнюю систему методом Гаусса, приводим ее к виду: Так как ранг системы (r=2) меньше числа неизвестных (n=3), то данная система имеет множество решений, в том числе и не нулевые решения. Следовательно, векторы а1, а2, а3 линейно независимы.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 76; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.104.120 (0.008 с.) |