Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные пространства и операторыСтр 1 из 8Следующая ⇒
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Линейное пространство Множество L элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если выполнены три условия: 1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам а, b L ставится в соответствие элемент c L, называемый суммой элементов a и b и обозначается с = а + b; 2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу a L и любому числу αÎR ставится в соответствии элемент d L называемый произведением элемента а на (действительное) число α и обозначается d =α а; 3)указанные законы (линейные операции) подчиняются аксиомам линейного пространства. Базис и размерность. Координаты вектора Базисом системы векторов (1) называется любая ее подсистема, удовлетворяющая следующим условиям: 1)векторы этой подсистемы линейно независимы; 2)каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы данной подсистемы. Рангом системы векторов (1) называется число векторов ее базиса. 3амечание1. 1.Базис системы векторов определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. ранг, всегда определяется однозначно. 2.Вычисление ранга системы векторов арифметического пространства сводится к вычислению ранга матрицы составленной из компонент векторов данной системы. Базисом линейного пространства L называется любая система векторов данного пространства, удовлетворяющая следующим условиям: 1)векторы этой системы линейно независимы; 2)каждый вектор пространства L линейно выражается через векторы данной системы. Размерностью линейного пространства L называется число векторов его базиса. Обозначение: dim L=n или Ln. 3амечание2. Базис линейного пространства определяется неоднозначно, а число векторов в базисе, т.е. размерность, всегда определяется однозначно. Пусть В={ e1,e2,…,e n } – базис пространства L (dim L =n). Тогда по определению 14 любой вектор а L может быть записан в виде а =α1 e 1 +α2 e 2 +…+αn en (4) Выражение (4) называется разложением вектора а по базису В. Коэффициенты разложения вектора а по базису В, т.е. числа α1,α2,…,αn называются координатами вектора а в базисе В. Обозначение: а =(α1,α2,…,αn)B. Линейные операторы Пусть даны два линейных пространства и .
Если задан закон (правило) , по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор , действующий из в и записывают или : . Вектор называется образом вектора при действии оператора , а сам вектор - прообразом вектора . Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства . Именно такие операторы будем рассматривать в дальнейшем. Оператор , действующий в линейном пространстве , называется линейным, если для любых векторов , из и любого числа выполняются равенства: 1) ; 2) . Примеры линейных операторов 1. Нуль-оператор ставит в соответствие каждому вектору х ÎL нулевой вектор 0: . 2. Тождественный или единичный оператор ставит в соответствие каждому вектору х ÎL этот же вектор: . 3. Оператор подобия с коэффициентом подобия ставит в соответствие каждому вектору х ÎL пропорциональный вектор : . Матрица линейного оператора Пусть - базис линейного пространства , в котором действует линейный оператор . Подействуем оператором на базисные векторы и разложим образы базисных векторов по тому же базису:
Матрицей линейного оператора φ в базисе В = называется квадратная матрица n-го порядка , i -тый столбец которой состоит из координат вектора в базисе , т.е. . Пусть ,а . Тогда связь между вектором и его образом выражается формулой или (1) Теорема 1. Для того чтобы число было собственным значением линейного оператора , необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения (2) этого оператора.
Решение. 1.Составим характеристическое уравнение:
После преобразований уравнение примет вид Решая это уравнение, получим Корни этого уравнения l1=l2=9, l3=-9 - собственные значения матрицы 2.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению Пусть Тогда получим или Отсюда Пусть и - свободные неизвестные, тогда Найдем фундаментальную систему решений данной однородной системы линейных уравнений:
Следовательно, , где числа и не равны нулю одновременно. 3.Найдем собственный вектор , соответствующий собственному значению . Пусть . Тогда получим или . Отсюда Решая последнюю систему методом Гаусса, получим: . Пусть - свободное неизвестное, тогда . Найдем фундаментальную систему решений:
Следовательно, , где . 3. Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора . а) ; б) . Решение. а) В примере 1 найдены собственные значения оператора и его собственные векторы , где и Так как оператор действует в линейном пространстве размерности 2 и имеет два различных собственных значения, то, отвечающие им собственные векторы и образуют базис данного пространства, в котором матрица оператора принимает диагональный вид . б) В примере 2 найдены собственные значения оператора и его собственные векторы и где и не равны нулю одновременно, . Линейный оператор действует в линейном пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. Несмотря на то, что , среди собственных векторов, отвечающих данному значению, можно выделить пары линейно независимых векторов (в силу того, что соответствующая фундаментальная система решений содержит два вектора). Следовательно, существует базис из трех собственных векторов, в котором матрица оператора имеет диагональный вид . 4. Выяснить, приводится ли к диагональному виду матрица . Решение. Аналогично примеру 2 находим, что данная матрица имеет собственные значения и отвечающие им собственные векторы и , где и . Матрица задана в пространстве размерности 3, но имеет два различных собственных значения. При этом все собственные векторы, отвечающие собственному значению , являются линейно зависимыми, так как соответствующая фундаментальная система решений состоит только из одного вектора. Следовательно, для матрицы нельзя выделить базис из трех собственных векторов, поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду. Практическое занятие № 14 Квадратичные формы Цель: научиться приводить квадратичные формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием, а также изучить различные типы квадратичных форм и критерии их определения. Литература [1] / глава 3, § 3.8. [15] / раздел II, § 2.32. [4] / раздел А, §§ 8.1 – 8.4. [16] / глава 7, § 7.1. [7] / раздел III, глава 3, §4. [17] / глава VI, §§ 1 – 2. [8] / глава 8. [18] / глава V, § 7. [9] / глава VIII. [19] / глава 3, § 3.5. [12] / тема 3. [20] / глава 9, § 9.4.
Справочный материал
Теорема 1. Любую квадратичную форму невырожденным преобразованием можно привести к эквивалентной ей форме вида . (4) Выражение (4) называется каноническим видом квадратичной формы (оно не содержит попарных произведений переменных), а числа - ее каноническими коэффициентами. Матрица квадратичной формы , имеющей канонический вид (4), является диагональной матрицей с элементами на главной диагонали. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными методами.
Теорема 2. Для любой квадратичной формы существует ортогональное преобразование , приводящее ее к каноническому виду . При этом - собственные значения матрицы А, а столбцы матрицы Р – попарно ортогональные нормированные собственные векторы матрицы А. Теорема 4. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A положительны (отрицательны). Определение8. Квадратичная форма называется квазизнакоопределенной ( либо неотрицательной, либо неположительной), если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при Определение9. Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Линейные модели обмена Цель: рассмотреть применение аппарата линейной алгебры для анализа микроэкономических моделей на примере простой модели обмена и модели международной торговли. Литература [1]/ глава 3, § 3.9. [3]/ глава 16, §16.3. [2]/ глава 5, § 4. [5]/ глава 3, § 3.5. [19]/ глава 3, § 3.6.
Справочный материал Простая модель обмена Пусть имеется система n отраслей производства , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е. (1)
Рассмотрим матрицу коэффициентов : где Матрица А со свойством (1), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой. Пусть - цена одной единицы продукции отрасли , а x - вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, определяется как Чтобы отрасль могла развиваться, ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ею продукции, т.е. : (2) Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств: (3) Если вектор цен х представить в виде матрицы , то систему (3) можно записать в матричной форме (4) Матричное уравнение (4) означает, что собственный вектор матрицы обмена А, отвечающий ее собственному значению , представляет собой искомый вектор равновесных цен. Уравнение (4) можно переписать в виде, позволяющем определить Х: .
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Линейное пространство Множество L элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если выполнены три условия: 1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам а, b L ставится в соответствие элемент c L, называемый суммой элементов a и b и обозначается с = а + b; 2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу a L и любому числу αÎR ставится в соответствии элемент d L называемый произведением элемента а на (действительное) число α и обозначается d =α а; 3)указанные законы (линейные операции) подчиняются аксиомам линейного пространства.
|
||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 44; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.196.59 (0.073 с.) |