Коэффициенты ковариации и корреляции

В экономических исследованиях одной из важных задач является анализ зависимостей между изучаемыми переменными. Кроме функциональной зависимости между экономическими явлениями и процессами, существуют стохастические (вероятностные, статистические) зависимости.

Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

Для оценки тесноты и направления связи между изучаемыми переменными при их стохастической зависимости пользуются показателями ковариации и корреляции.

Ковариацией  случайных величин Х и Y называется среднее произведение отклонений каждой пары значений величин Х и Y в исследуемых массивах данных:

 

 

Ковариация есть характеристика системы случайных величин, описывающая помимо рассеивания величин Х и Y еще и линейную связь между ними.

Доказано, что для независимых случайных величин Х и Y их ковариация равна нулю, а для зависимых случайных величин она отличается от нуля (хотя и необязательно). Поэтому ненулевое значение ковариации означает зависимость случайных величин. Однако обращение в нуль ковариации не гарантирует независимости, бывают зависимые случайные величины, ковариация которых равна нулю.

Из формулы определения ковариации видно, что ковариация характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин Х или Y мало отличается от своего математического ожидания (почти не случайна), то показатель ковариации будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины Х и Y. Так что обращение в нуль ковариации величин Х и Y является недостаточным условием для их независимости, а только необходимым.

Использование ковариации в качестве меры связи признаков не совсем удобно, так как показатель ковариации не нормирован и при переходе к другим единицам измерения меняет значение. Поэтому в статистическом анализе показатель ковариации сам по себе используется редко; он фигурирует обычно как промежуточный элемент расчета линейного коэффициента корреляции :

 

.

 

В начале 90-х годов 19 века Пирсон, Эджворт и Велдон получили формулу линейного коэффициента корреляции

 

 

.

 

Линейный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты не всякой, а только линейной зависимости. При нелинейной зависимости между явлениями линейный коэффициент корреляции теряет смысл, и для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное соотношение, известное также под названием «индекс корреляции».

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, т.е. более или менее приближаться к функциональной.

Если случайные величины Х и Y связаны точной линейной функциональной зависимостью y = aх + b, то . В общем случае, когда величины Х и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, линейный коэффициент корреляции принимает значение в пределах , тогда качественная оценка тесноты связи величин Х и Y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока

 

Теснота связи	Значение коэффициента корреляции при наличии:
	прямой связи	обратной связи
Слабая	0,1–0,3	(–0,1)–(–0,3)
Умеренная	0,3–0,5	(–0,3)–(–0,5)
Заметная	0,5–0,7	(–0,5)–(–0,7)
Высокая	0,7–0,9	(–0,7)–(–0,9)
Весьма высокая	0,9–0,99	(–0,9)–(–0,99)