Скалярное, смешанное и векторное произведения

1. Скалярное произведение. Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит тт. Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю.

Скалярным произведением двух векторов а и b называется число

                       (1)

Где  — угол между векторами а и b

  Рис 2. Скалярное произведение векторов а и b

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с.

                            (2)

такой, что

1 Длина вектора , где  - угол между векторами а и b

2 Вектор с перпендикулярен а и b

3 Векторы а, b, с образуют правую тройку векторов, т е длина вектора с численно равна площади параллелограмма S

Рис 3 Векторное произведение векторов а и b:

Например

Вычислить скалярное и векторное произведения векторов а (1,2,3) и b (4,5,6).

Решение,

(а, b)=1*4 + 2*5 + 3*6 = 32.

[ а * b ] = е₁(2*6 - 3*5) - е₂(1*6 – 3*4) + е₃(1*5 – 2*4) = -3х+6у-3z.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Операции над матрицами

1. Матрица. Таблица чисел a_ij вида

состоящая из m строк и п столбцов, называется матрицей размером т x п.

Числа a_jj называются ее элементами. При m = п она называется квадратной матрицей п-го порядка. При m ≠ п она называется прямоугольной.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Если представить, что строки матрицы являются п -мерными векторами , то максимальное число линейно независимых векторов называется рангам матрицы А.

Условимся называть две матрицы однотипными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. Вообще, тип матрицы определяется парой чисел ( m, n ), где т — число строк, a n — число столбцов в данной матрице.

 ,

Матрицу размеров 1 х п, состоящую из одной строки, называют матрицей строкой. Матрицу размеров т х 1, состоящую из одного столбца, называют матрицей столбцом.

 ,

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Квадратная матрица А называется симметричной или симметрической, если а _ij = а _ji при всех i и j, то есть всеэлементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица А называется кососимметричной или антисимметрич ной, если а _ij = -а _ji при всех i и j, то есть элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные элементы равны нулю.

Квадратная матрица А называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: а _ij = 0 при всех i > j. Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: а _ij = 0 при всех i < j.

Квадратная матрица А называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: а _ij = 0 при всех i = j.

 

Операции над матрицами

1. Сложение матриц. Пусть А и В — две однотипные матрицы: тогда чтобы найти сумму матриц А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить А+В

Следовательно

2. Умножение матрицы на число. Умножить матрицу А на число k означает, по определению, умножить все ее элементы на это число:

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить 2А+В

Следовательно , тогда

 

3. Умножение матриц. Это весьма своеобразная операция, которая каждым двум матрицам А и В связанным между собой простым условием (число столбцов в А равно числу строк в В), сопоставляет некоторую третью матрицу С.

Пусть заданы матрицы А типа (т, п) и В типа (n, k), причем число п столбцов матрицы А по условию совпадает с числом п строк матрицы В, другими словами, длина строки матрицы А совпадает с высотой столбца матрицы В, тогда произведением А В называется матрица С типа (m, k ):

элементы которой находятся по формуле

Правило для нахождения   запомнить совсем нетрудно: берутся i -я строка матрицы А и j столбец матрицы В, затем каждый элемент строки умножается на соответствующий элемент столбца и все такие произведения складываются.

Примеры.

Пусть даны матрицы  , . Определить АВ

Следовательно

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить А D

Следовательно

 

Свойства умножения матриц

1. Невыполнение переместительного закона. Переместительный закон умножения для матриц не действителен, поэтому:  

Например,

Даны матрицы  , . Тогда

Но

2. Сочетательный закон умножения. Покажем, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону, т. е. (АВ) С = А (ВС).

Например

Пусть даны матрицы , , .

Следовательно , тогда

Рассмотрим , тогда

Сочетательный закон умножения дает нам право в дальнейшем писать ABC, не уточняя, какое из двух произведений (АВ)С или А(ВС) имеется в виду под этой записью.

3. Распределительный закон. Для матриц справедлив распределительный закон, связывающий умножение со сложением. Причем, поскольку умножение матриц не обладает переместительным свойством, имеются два распределительных закона:

А (В+С) = АВ+АС

(В+С) А = ВА+СА

Обратная матрица

Более глубокая аналогия между умножением матриц и умножением чисел обнаруживается при рассмотрении квадратичных матриц. Условимся, что все рассматриваемые ниже матрицы являются квадратными и имеют один и тот же порядок (количество строк или столбцов) п. При этом условии произведение А В всегда имеет смысл.

1. Единичная матрица. Среди обычных чисел число 1 выделяется тем, что его произведение с любым числом а есть снова а: а • 1 = 1 • а = а. Оказывается, что и среди матриц рассматриваемого вида существует некоторая специальная матрица, обладающая аналогичным свойством. Эта матрица имеет вид

и называется единичной матрицей (данного порядка п). Легко проверить, что АЕ = ЕА = А, какова бы ни была матрица А.

2. Обратная матрица. Для каждого числа а, отличного от нуля, существует обратное число , дающее в произведении с а единицу: . Аналогичное свойство справедливо и в отношении матриц, при условии, что строки матрицы линейно независимы. Примем следующие определения.

1. Матрица А называется невырожденной, если система ее строк линейно независима, и вырожденной, если между ее строками существует линейная зависимость.

2. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если АВ = Е. Обратная матрица обозначается , следовательно

3. Отсутствие обратной матрицы в случае, когда исходная матрица А вырожденная. Для вырожденной матрицы А не существует обратной, что доказывает лемма: Если С = АВ и между строками матрицы А существует линейная зависимость, то в точности такая же зависимость имеет место для строк матрицы С.

4. Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы а. Приписываем к матрице А (слева или справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью строчных преобразований над всей составной матрицей приводим матрицу А к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е оказывается матрица .

К строчным преобразованиям относятся

1) перестановка строк

2) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля

3) прибавление к одной стоке другой строки, умноженной на какое-либо число

Например

 следовательно

5. Единственность обратной матрицы. Для невырожденной матрицы А всегда существует обратная матрица и причем только одна.

Ранг матрицы.

1. Определение. Пусть в матрице А существует линейно независимая система из г строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы А равен r. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен r ₁, если есть линейно независимая система из r ₁ столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка r.

В матрице А размеров m x n подматрица порядка r называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками А. Базисные столбцы и строки линейно независимы.

Рангом матрицыRg A - называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.

Отметим два очевидных свойства ранга.

• Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные — вырожденными.

• Если А' — подматрица матрицы А, то ранг А' не превосходит ранга A, так как любая невырожденная подматрица, входящая в А¹ ', входит и в A.

2. Основные теоремы. Из предложения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы:

Теорема 1. Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу.

Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово "минор" означает "детерминант подматрицы". В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.

Теорема 2. Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Следствие. Каждая строка матрицы раскладывается по ее базисным строкам.

3. Ранг произведения матриц. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.. Если матрица А невырождена и определены произведения АВ и С А, то Rg АВ = Rg В и Rg С А = Rg С.

Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей.