Элементы линейной и векторной алгебры

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

 

Тема 1.

Элементы линейной и векторной алгебры: векторы и операции над ними. Векторы на плоскости и в пространстве. Проекции векторов на оси координат. Линейные комбинации векторов. Линейно-зависимые и не зависимые векторы. Базис и разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства.

Тема 2.

Элементы линейной и векторной алгебры: матрицы и действия над матрицами. Основные определения. Сложение матриц, умножение матриц на число, произведение матриц. Свойства операций над матрицами. Транспонированные матрицы и их свойства. Определение обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы и ее свойства. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования.

Тема 3.

Элементы линейной и векторной алгебры: определители их свойства и операции над ними. Основные понятия теории определителей. Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента.

Тема 4.

Элементы линейной и векторной алгебры: системы линейных уравнений и методы их решения. Системы линейных алгебраических уравнений, методы решения систем неоднородных линейных уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, п- неоднородных линейных уравнений, базисный матричный метод. Системы m решения. Системы однородных линейных уравнений и методы их решения.

 

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

 

Тема 6.

Элементы аналитической геометрии. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении, вычисление площадей плоских фигур). Уравнения прямых линий на плоскости. Уравнение плоскости и прямой линии в пространстве. Уравнения окружности эллипса, гиперболы и параболы.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Операции над векторами

Пусть даны два вектора а и b. Построим равные им векторы АВ и DC. Тогда вектор АС называется суммой векторов а и b и обозначается а + b.

Произведением вектора а на вещественное число k называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а)       | b | = k |а|;

б)      b коллинеарен а;

в)      b и а направлены одинаково, если k > 0, и противоположно, если k < 0.

 

Произведение вектора а на число k обозначается k a. Если вектор АВ умножить на действительное число С, то получим новый вектор DE, который коллинеарен вектору АВ, длина его в С раз больше, и при С > 0 вектор DE направлен в ту же сторонe, а при С < 0 в противоположную вектору АВ

В курсе средней школы были выведены основные свойства линейных операций. Для любых векторов a, b и с и любых чисел k и l выполнено:

1)   a + b = b + а (сложение коммутативно),

2)   (а + b) + с — a + (b + с) (сложение ассоциативно)

3)  а + 0 = а;

4)  вектор (-1 а) противоположный для а: а + (-1 а) = 0;

5)   (k l)а = k (l а);

6)   (k + l)а = k a + l а;

7)   k (а + b) = k а + k b;

8)   1 a = a.

Вектор (-1)а обозначается -а. Разностью векторов а и b называется сумма векторов а и - b. Она обозначается а - b. В этом смысле вычитание - операция, сопоставляющая паре векторов разность первого и второго, - есть операция, обратная сложению, и мы не считаем его отдельной операцией.

 

 

Точно так же мы не выделяем деление вектора на число а, так как его можно определить как умножение на 1/ a.

 

Операции над матрицами

1. Матрица. Таблица чисел a_ij вида

состоящая из m строк и п столбцов, называется матрицей размером т x п.

Числа a_jj называются ее элементами. При m = п она называется квадратной матрицей п-го порядка. При m ≠ п она называется прямоугольной.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Если представить, что строки матрицы являются п -мерными векторами , то максимальное число линейно независимых векторов называется рангам матрицы А.

Условимся называть две матрицы однотипными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов. Вообще, тип матрицы определяется парой чисел ( m, n ), где т — число строк, a n — число столбцов в данной матрице.

 ,

Матрицу размеров 1 х п, состоящую из одной строки, называют матрицей строкой. Матрицу размеров т х 1, состоящую из одного столбца, называют матрицей столбцом.

 ,

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Квадратная матрица А называется симметричной или симметрической, если а _ij = а _ji при всех i и j, то есть всеэлементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица А называется кососимметричной или антисимметрич ной, если а _ij = -а _ji при всех i и j, то есть элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные элементы равны нулю.

Квадратная матрица А называется верхней треугольной, если ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: а _ij = 0 при всех i > j. Аналогично определяется нижняя треугольная матрица: а _ij = 0 при всех i < j.

Квадратная матрица А называется диагональной, если у нее равны нулю все недиагональные элементы: а _ij = 0 при всех i = j.

 

Операции над матрицами

1. Сложение матриц. Пусть А и В — две однотипные матрицы: тогда чтобы найти сумму матриц А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить А+В

Следовательно

2. Умножение матрицы на число. Умножить матрицу А на число k означает, по определению, умножить все ее элементы на это число:

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить 2А+В

Следовательно , тогда

 

3. Умножение матриц. Это весьма своеобразная операция, которая каждым двум матрицам А и В связанным между собой простым условием (число столбцов в А равно числу строк в В), сопоставляет некоторую третью матрицу С.

Пусть заданы матрицы А типа (т, п) и В типа (n, k), причем число п столбцов матрицы А по условию совпадает с числом п строк матрицы В, другими словами, длина строки матрицы А совпадает с высотой столбца матрицы В, тогда произведением А В называется матрица С типа (m, k ):

элементы которой находятся по формуле

Правило для нахождения   запомнить совсем нетрудно: берутся i -я строка матрицы А и j столбец матрицы В, затем каждый элемент строки умножается на соответствующий элемент столбца и все такие произведения складываются.

Примеры.

Пусть даны матрицы  , . Определить АВ

Следовательно

Например

Пусть даны матрицы  , . Определить А D

Следовательно

 

Свойства умножения матриц

1. Невыполнение переместительного закона. Переместительный закон умножения для матриц не действителен, поэтому:  

Например,

Даны матрицы  , . Тогда

Но

2. Сочетательный закон умножения. Покажем, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону, т. е. (АВ) С = А (ВС).

Например

Пусть даны матрицы , , .

Следовательно , тогда

Рассмотрим , тогда

Сочетательный закон умножения дает нам право в дальнейшем писать ABC, не уточняя, какое из двух произведений (АВ)С или А(ВС) имеется в виду под этой записью.

3. Распределительный закон. Для матриц справедлив распределительный закон, связывающий умножение со сложением. Причем, поскольку умножение матриц не обладает переместительным свойством, имеются два распределительных закона:

А (В+С) = АВ+АС

(В+С) А = ВА+СА

Обратная матрица

Более глубокая аналогия между умножением матриц и умножением чисел обнаруживается при рассмотрении квадратичных матриц. Условимся, что все рассматриваемые ниже матрицы являются квадратными и имеют один и тот же порядок (количество строк или столбцов) п. При этом условии произведение А В всегда имеет смысл.

1. Единичная матрица. Среди обычных чисел число 1 выделяется тем, что его произведение с любым числом а есть снова а: а • 1 = 1 • а = а. Оказывается, что и среди матриц рассматриваемого вида существует некоторая специальная матрица, обладающая аналогичным свойством. Эта матрица имеет вид

и называется единичной матрицей (данного порядка п). Легко проверить, что АЕ = ЕА = А, какова бы ни была матрица А.

2. Обратная матрица. Для каждого числа а, отличного от нуля, существует обратное число , дающее в произведении с а единицу: . Аналогичное свойство справедливо и в отношении матриц, при условии, что строки матрицы линейно независимы. Примем следующие определения.

1. Матрица А называется невырожденной, если система ее строк линейно независима, и вырожденной, если между ее строками существует линейная зависимость.

2. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если АВ = Е. Обратная матрица обозначается , следовательно

3. Отсутствие обратной матрицы в случае, когда исходная матрица А вырожденная. Для вырожденной матрицы А не существует обратной, что доказывает лемма: Если С = АВ и между строками матрицы А существует линейная зависимость, то в точности такая же зависимость имеет место для строк матрицы С.

4. Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы а. Приписываем к матрице А (слева или справа) единичную матрицу Е. Далее с помощью строчных преобразований над всей составной матрицей приводим матрицу А к единичной матрице Е. Тогда на месте первоначально приписанной матрицы Е оказывается матрица .

К строчным преобразованиям относятся

1) перестановка строк

2) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля

3) прибавление к одной стоке другой строки, умноженной на какое-либо число

Например

 следовательно

5. Единственность обратной матрицы. Для невырожденной матрицы А всегда существует обратная матрица и причем только одна.

Ранг матрицы.

1. Определение. Пусть в матрице А существует линейно независимая система из г строк, и нет линейно независимой системы из большего числа строк. Тогда мы будем говорить, что строчный ранг матрицы А равен r. Нулевая матрица не содержит никакой линейно независимой системы строк, и ее строчный ранг по определению равен нулю.

Аналогично определяется столбцовый ранг матрицы. Он равен r ₁, если есть линейно независимая система из r ₁ столбцов, и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов. Столбцовый ранг нулевой матрицы по определению равен нулю.

Система из r строк линейно независима тогда и только тогда, когда в этих строках найдется невырожденная подматрица порядка r.

В матрице А размеров m x n подматрица порядка r называется базисной, если она невырождена, а все квадратные подматрицы большего порядка, если они существуют, вырождены.

Столбцы и строки матрицы А, на пересечении которых стоит базисная подматрица, называются базисными столбцами и строками А. Базисные столбцы и строки линейно независимы.

Рангом матрицыRg A - называется порядок базисной подматрицы или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют невырожденные подматрицы. Ранг нулевой матрицы по определению считают нулем.

Отметим два очевидных свойства ранга.

• Ранг матрицы не меняется при транспонировании, так как при транспонировании матрицы все ее подматрицы транспонируются, и при этом невырожденные подматрицы остаются невырожденными, а вырожденные — вырожденными.

• Если А' — подматрица матрицы А, то ранг А' не превосходит ранга A, так как любая невырожденная подматрица, входящая в А¹ ', входит и в A.

2. Основные теоремы. Из предложения 1 прямо следует теорема о ранге матрицы:

Теорема 1. Ранг любой матрицы равен ее строчному рангу и ее столбцовому рангу.

Из теоремы о ранге матрицы мы получаем теорему о базисном миноре, на которую существенно опирается все дальнейшее изложение. Слово "минор" означает "детерминант подматрицы". В частности, базисный минор — это детерминант базисной подматрицы. О детерминантах будет речь в следующем параграфе, а здесь это слово можно воспринимать просто как составную часть названия теоремы.

Теорема 2. Каждый столбец матрицы раскладывается в линейную комбинацию ее базисных столбцов.

Следствие. Каждая строка матрицы раскладывается по ее базисным строкам.

3. Ранг произведения матриц. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.. Если матрица А невырождена и определены произведения АВ и С А, то Rg АВ = Rg В и Rg С А = Rg С.

Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей.

Свойства определителей

Свойство 1. При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя на некоторое число определитель умножается на это число.

Свойство 2. Определитель  со строками (столбцами) равен сумме определителей  и  соответственно со строками (столбцами)

Свойство 3. Определитель, содержащий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю.

Свойство 4. Перестановка двух строк (столбцов) определителя умножает его на ( —1).

Свойство 5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Свойство 6. Определитель не меняется при любом строчном (столбцовом) преобразовании.

Свойство 7. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, не меняя их порядка. Отметим, что операция перехода от  к  называется транспонированием. Таким образом, содержание свойства 7 можно выразить словами: определитель не меняет своего значения при транспонировании.

 

Например

Определим обратную матрицу

Для определения обратной матрицы также можно воспользоваться методом определителей

Найдем алгебраические дополнения

Так как

 Следовательно, обратная матрица составляет

Ответ:

Системы линейных уравнений

1. Постановка задачи. Систему уравнений вида

          (1)

мы будем называть системой т линейных уравнений с п неизвестными . Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы

называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец b, называемый столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается А*:

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Совокупность п чисел  называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел  вместо соответствующих неизвестных .

Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы можем записать систему (1) в виде

где  - столбцы матрицы системы, а B - столбец свободных членов. Отсюда сразу вытекает следующая интерпретация решения системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений — это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы.

Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче:

Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений — несовместными.

Если столбцы матрицы системы линейно независимы, то система не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение.

Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системы уравнений, не меняющие множества ее решений.

2. Правило Крамера. Пусть дана система из п уравнений с п неизвестными

               (2)

Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно.

Если система:

а) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной;

б) имеет решение - совместной,

в) если совместная система имеет бесконечное множество решений, то она называется неопределенной,

г) если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной

Правило Крамера: Если определитель системы (2) отличен от нуля, т.е. , то система уравнений имеет единственное решение, вычисляемое по формуле

 при

Например

Решить систему линейных уравнений

Решение

Вычислим определители системы

Вспомогательные определители системы

Следовательно, по правилу Крамера

Ответ:

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

 

Тема 1.

Элементы линейной и векторной алгебры: векторы и операции над ними. Векторы на плоскости и в пространстве. Проекции векторов на оси координат. Линейные комбинации векторов. Линейно-зависимые и не зависимые векторы. Базис и разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства.

Тема 2.

Элементы линейной и векторной алгебры: матрицы и действия над матрицами. Основные определения. Сложение матриц, умножение матриц на число, произведение матриц. Свойства операций над матрицами. Транспонированные матрицы и их свойства. Определение обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы. Построение обратной матрицы и ее свойства. Определение ранга матрицы. Элементарные преобразования.

Тема 3.

Элементы линейной и векторной алгебры: определители их свойства и операции над ними. Основные понятия теории определителей. Вычисление определителей второго, третьего и n-го порядка. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента.

Тема 4.

Элементы линейной и векторной алгебры: системы линейных уравнений и методы их решения. Системы линейных алгебраических уравнений, методы решения систем неоднородных линейных уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, п- неоднородных линейных уравнений, базисный матричный метод. Системы m решения. Системы однородных линейных уравнений и методы их решения.