Тема 2. Типи сигналів та їх кількісні параметри

Лекція 2

Тема 2. Типи сигналів та їх кількісні параметри

Типи сигналів. Аналоговий сигнал. Дискретний сигнал. Цифровий сигнал. Перетворення типу сигналів. Графічне відображення сигналів. Тестові сигнали. Дельта-функція. Функція одиничного стрибка. Енергія і потужність сигналу.

Вибір частоти дискретизації за допомогою функції відліків.

Теорема Котельнікова (подаю без доведення): довільний сигнал, безперервний спектр якого не містить частот вище , може бути повністю відновлений, якщо відомі відлікові значення цього сигналу, узяті через рівні інтервали часу  Теорема Котельникова встановлює принципову можливість повного відновлення детермінованого сигналу з обмеженим спектром і вказує граничне значення кроку (інтервалу) дискретизації, при якому таке відновлення можливе.

Додаток.

Доведення теореми. Нехай функція , що описує сигнал, і дискретизується, має обмежену спектральну густину , причому

 при ,                                                         (9)

де  найбільша частота в спектрі сигналу . Використовуючи зворотне перетворення Фур'є з урахуванням співвідношення (9), запишемо:

.                                           (10)

Для будь-яких моментів часу, наприклад , де  будь-яке ціле число, функція  набуває значень

.                                  (11)

Розглядаючи спектральну щільність  як функцію частоти з періодом , і періодично продовжуючи її з цим періодом, розкладемо  в ряд Фур'є на інтервалі частот :

                                           (12)

де коефіцієнти розкладання дорівнюють

                               (13)

Порівнюючи (11) і (13), бачимо, що , звідки визначаємо:

                                          (14)

Виразимо  через відліки початкової функції:

                    (15)

Оскільки підсумовування ведеться як по позитивних, так і по від’ємних числах , знак перед  у виразі (15) можна змінити на зворотний:

.                                                  (16)

Підставивши (16) у вираз (10), визначимо значення початкової функції у будь-який момент часу:

                                       (17)

Враховуючи збіжність ряду Фур'є, змінимо порядок підсумовування і інтегрування:

.                                             (18)

У отриманому вираженні вичислимо інтеграл:

                            (19)

Підставивши результат обчислення інтеграла в (18), остаточно отримаємо

.                                             (20)

Отже, безперервна функція з обмеженим спектром може бути представлена безліччю своїх значень (відліків), узятими в моменти часу .

Вираз (20) є рядом Котельникова, в якому роль коефіцієнтів виконують відліки функції , а базисними є функції виду

.                                                  (21)

Базисні функції  називають функціями відліків.

ЛІТЕРАТУРА

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс)

2. Волощук Ю.Л. Сигнали та процеси в радіотехніці том. 1-4. - Харків: «СМІТ», 2003.

3. Бизин А.Т. Введение в цифровую обработку сигналов. -Новосибирск 1998.4. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов. – Учебное пособие для вузов. - М.: Радио и связь 1990.5. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа» 2003. 6. Гетманов В.Г. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. Изд. 2-е, расш. и перераб. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 232 с.

 

Лекція 2

Тема 2. Типи сигналів та їх кількісні параметри

Типи сигналів. Аналоговий сигнал. Дискретний сигнал. Цифровий сигнал. Перетворення типу сигналів. Графічне відображення сигналів. Тестові сигнали. Дельта-функція. Функція одиничного стрибка. Енергія і потужність сигналу.