Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

 

Пусть  - выборка объема n из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения .

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке
, называется функция

,

где  - индикатор множества , а  - число выборочных значений, не превосходящих .

    Неизвестную функцию распределения  наблюдаемой случайной величины  при этом называют теоретической функцией распределения.

Для заданной выборки  эмпирическая функция распределения  определена на всей числовой прямой и обладает всеми свойствами обычной функции распределения:

1.  для любого ;

2.  является функцией неубывающей;

3.  является функцией непрерывной слева;

4.  является кусочно-постоянной функцией и возрастает только в точках, являющихся значениями случайной величины , причем:

если все значения  различны, то

 при , , ;

если  - различные значения среди , то

,

где   - частота значения , .

    График эмпирической функции распределения  в общем случае имеет в ид:

 

    Другими словами, эмпирическая функция распределения  является функцией распределения выборочной дискретной случайной величины , имеющей закон распределения:

			…
			…

Принципиальное отличие эмпирической функции распределения  от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке, являясь при любом фиксированном х реализацией случайной функции

,

где  - копии случайной величины .

Важнейшим свойством эмпирической функции распределения , как случайной функции, является то, что она для любого  при увеличении объема выборки  сближается (в смысле сходимости по вероятности) с теоретической функцией распределения .

Теорема 1. Пусть  - эмпирическая функция распределения, соответствующая выборке из генеральной совокупности, имеющей теоретическую функцию распределения . Тогда для любого

.

▲ Рассмотрим случайную величину  и обозначим  (при фиксированном x). Случайные величины  принимают два значения 0 и 1 с вероятностями  и ,  соответственно. Поскольку все случайные величины  - копии наблюдаемой случайной величины , то . При этом

,

.

Следовательно, последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин  подчиняется закону больших чисел, то есть

 ■.

 

Таким образом, при больших n эмпирическая функция распределения в каждой точке х может служить приближенным значением (оценкой) неизвестной теоретической функции распределения в этой точке. Эмпирическую функцию распределения  при этом также называют статистическим аналогом неизвестной функции распределения .

    Справедлив и следующий гораздо более сильный результат, принадлежащий В.И. Гливенко (1933г.).

    Теорема 2. (без доказательства). В условиях теоремы 1

Утверждение теоремы 2 означает, что отклонение

эмпирической функции распределения на всей числовой прямой с вероятностью 1 будет сколь угодно мало при достаточно большом объеме выборки.

    Приведем еще один результат, принадлежащий А.Н. Колмогорову (1933г.), который позволяет для больших n оценивать вероятности заданных отклонений случайной величины от нуля.

    Теорема 3 (без доказательства). Если теоретическая функция распределения  непрерывна, то для любого фиксированного

.

При этом предельную функцию  можно с хорошим приближением использовать для практических расчетов уже при .

    Функция  является функцией распределения, если положить  при  и называется функцией Колмогорова. Она играет большую роль в математической статистике, значения функции  табулированы.