Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.

При пересечении поверхностей второго порядка линией пересечения в общем случае является пространственная кривая четвертого порядка. Эта кривая пересекается с плоскостью в четырех точках (действительных и мнимых). Порядок линии пересечения равен произведению порядков пересекающихся поверхностей. Кривая четвёртого порядка может распадаться на две плоские кривые второго порядка.

Теорема 1. Если две поверхности пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются (доказательство не приводится).

На рис. 83 изображены фронтальные проекции Ф₂ и Q₂ сферы Ф и эллиптического цилиндра Q, имеющих общую окружность m с центром (О₂). Для данных поверхностей, плоскость, определяемая точкой С и осью I, является плоскостью симметрии (С,i || П₂). Общая окружность радиуса r - одна из плоских кривых линии пересечения. Вторая линия пересечения спроецируется на плоскость П₂ в виде отрезка прямой n₂. Для его построения следует воспользоваться точками А₂ и В₂, принадлежащими фронтальным очеркам заданных поверхностей.

Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности имеют касание в двух точках А и В, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок АВ, соединяющий точки касания.

Пример: по двум окружностям m и n пересекается сфера Ф с поверхностью эллиптического цилиндра Q (рис. 84).

 

Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, а Î А, β Î В. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтальных проецирующих плоскостях γи σ         (γ Î m, σ Î n).

Теорема 3 (Теорема Г. Монжа).

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую соединяющую точки пересечения линий касания (рис. 85).

Метод концентрических сфер.

Для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, иногда нецелесообразно использовать вспомогательные секущие плоскости, т.к. они могут не дать вспомогательных линий сечения, которые проецировались бы графически простыми линиями.

Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей вращения рассмотрим соосные поверхности.

Соосными называются поверхности, имеющие общую ось.

Две соосные поверхности пересекаются по окружностям, перпендикулярным общей оси.

Пример: соосные сфера и конус вращения пересекаются по линиям т и п. Точки А и В, вращаясь вокруг общей оси I, дадут окружности, принадлежащие конусу и сфере, которые и будут линиями их пересечения. Свойство сферы

пересекать соосную с ней поверхность вращения по окружностям (параллелям поверхности) положено в основу способа применения сфер как посредников при нахождении линии пересечения поверхностей вращения. Для того чтобы вспомогательная секущая сфера пересекала по параллелям обе заданные поверхности, центр сферы должен лежать в точке пересечения осей заданных поверхностей. Если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекций, то параллели пересечения вспомогательной сферы с этими поверхностями проецируются на эту плоскость в прямые линии. Это - основа метода секущих концентрических сфер.

Пример: определить линию пересечения тора и конуса (рис. 87).

Заданы поверхности вращения, оси их пересекаются в точке О и по условию лежат в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций.

Из точки О₂ проведем сферу произвольного радиуса R ¹,, которая тор пересекает по линиям к₂ и l ₂, конус по линиям т₂ и п₂ в пересечении которых определены точки А₂ и В₂, которые принадлежат фронтальной проекции линии пересечения тора и конуса.

Изменяя радиус вспомогательных сфер, можно получить какое угодно число точек линии пересечения. Для определения максимального радиуса сферы, необходимо отметить точки пересечения очерковых линий, замерить расстояние от точки O ₂ до этих точек и наибольшее из этих расстояний будет максимальным радиусом сферы (R ³).

Для определения радиуса наименьшей сферы нужно из точки O ₂ провести нормали к очерковым линиям каждой поверхности (g ₂ и t ₂). Больший из полученных отрезков и будет минимальным радиусом вспомогательной сферы (R ²). При помощи этой сферы найдена точка Е₂. Именно с нее следует начинать искать точки линии пересечения поверхностей. Найденные точки соединяют плавной линией. Если нужно построить проекции этой линии на другие плоскости проекций, то это легко сделать, связав каждую точку пересечения с окружностью, лежащей на этой или другой поверхности вращения.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие линии получаются при пересечении двух кривых оверхностей?

2. Назовите частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка. Какой вид имеют линии пересечения в этих случаях?

3. Как пересекаются соосные поверхности вращения?

4. В каких случаях применяется метод соосных концентрических сфер? В чём он заключается?