Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться. Каждые из этих положений определенным образом отражаются на эпюре (рис. 12).

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны на основании свойств параллельных проекций АВ || С D; А₂В₂ || С₂ D ₂; А₁В₁ || С₁ D ₁ (рис.12).

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций располагаются на одном перпендикуляре к оси, т.е. на одной линии связи

(Е F ∩ QL) = К

(E ₁ F ₁ ∩ Q ₁ L ₁) = К₁; (E ₂ F ₂ ∩ Q ₂ L ₂)= К₂

У скрещивающихся прямых проекции могут пересекаться, но точки пересечения не лежат на одной линии связи   М N и Р R - скрещивающиеся прямые (рис.12). М N ^● Р R

 

 

Рис.12

По эпюру можно определить видимость точек в случае совпадения их одноименных проекций. Считается, что фронтальная проекция представляет вид спереди, а горизонтальная – вид сверху, и поэтому видимость у каждой проекции своя.

На горизонтальной проекции будет видимой та из конкурирующих точек 3 и 4, которая находится выше - точка 3; на фронтальной – та, которая дальше от фронтальной плоскости, ближе к наблюдателю - точка 2. Невидимые точки на проекциях показывают в скобках (рис.12).

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между пересекающимися прямыми может быть любой – острый, тупой или прямой (рис. 13). Для того, чтобы угол спроецировался на плоскость проекций в натуральную величину, нужно, чтобы обе стороны угла были параллельны этой плоскости проекций (рис. 14).

Проецирование прямого угла в истинную величину определяется теоремой «Проецирование прямого угла».

Теорема. Для того, чтобы прямой угол спроецировался на плоскость проекций в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна этой плоскости, а вторая не перпендикулярна ей. (рис. 15)

Дано:

Ð АВС=90°; АВ//П₁; ВС не Ö П₁; Доказать: Ð А₁В₁С₁=90°

Доказательство. АВ Ö пл. (ВВ₁СС₁), т.к. АВ Ö ВС – по условию теоремы, АВ Ö ВВ₁ по условию ортогонального проецирования. АВ || А₁В₁, а если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая также перпендикулярна этой плоскости, а, значит А₁В₁ Ö ВВ₁СС₁. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, расположенной в этой плоскости, следовательно, А₁В₁ Ö В₁С₁, а, значит,

Ð А₁В₁С₁ = 90°, что и требовалось доказать.

Вопросы для самопроверки.

1. Какую прямую называют прямой общего положения?

2. Перечислите прямые частного положения, дайте определение каждой из них и укажите особенности их проекций.

3. Что называют следом прямой?

4. Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?

5. Как задаются на комплексном чертеже параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые?

6. Как найти натуральную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника? Как определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций П₁ и П₂?

7. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого?