Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса.

Случайный процесс y(t) = U_m(t) cos (w₀t+j(t)) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота w₀.

U_m(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

j(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза j(t) распределена равномерно (см. выше).

        u(t)                  Um(t)

 

                                                                     Рис.11.9.

                                                           t

 

 

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

; U_m ³ 0

      W(Um)  

                                з-н Релея

                                                      з-н Райса                    Рис.11.10.

 

                0                                                          Um

 

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

закон Райса.

I₀(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.

 

11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.

 

Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0.

Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.

 

              

          x(t)

              а       

                     T₁

                   

Т₂                                       t       Рис.11.11

              b                              

                                      

                                         T ₁ + T ₂ = T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

 

T ₁ / T - вероятность того, что случайный процесс принимает

   значение а.

T ₂ / T  - вероятность того, что случайный процесс принимает

   значение b.

ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:

                                               W(x)

                                                                 Рис.11.12.

                                      b   0     a          x                                                                                                                 

              

                                      

ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x= a и x= b имеет вид:

 

 

 

                                                  F(x)

 

                                             1

 

                            T₂/T₁

                                                                                    Рис.11.13.

 

                                                    t

                                 b                      a

 

Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:

x = a c вероятностью T ₁ / T, x = b c вероятностью T ₂ / T

 

11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

 

Нелинейное преобразование:

y (t)= f[x (t) ] – называется безынерционным, если y (t_k) в момент времени t_k зависит только от x (t_k).

ФПВ для процесса y на выходе:

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

 

                                                         y

 

                                                                             Рис.11.14

                                                     b

 

                                          -a               a                    x

-b

                                                          

 

 

Это нелинейное устройство называется ограничителем.

Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m _{1 x} =0.

ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок).

Рассчитаем ФПВ процесса y:

1. Пусть       у= kx (k >1)

                                                                                            Подставим в W (x) вместо x, y / k, тогда

   

На интервале  ФПВ для у будет нормальной, со средним значением m _{1 y} =0, но дисперсия y, т.е. .

 

 

                                                        W(x)

 

 

 

                                                                   x            

                                 -a                              a

                                            W(y)

 

 

                                                                                                 Рис.11.15.

 

                          -ka                0                   ka             y

 

 

2. Пусть:

            

Выражаем x через у, т.е.  

 Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией

   

 

3.Пусть:  

 

                                                                                                                                                                                                                     

Это нормальная ФПВ, m ₁ = - b и дисперсия .

ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).