Устойчивость систем автоматического управления

Под устойчивостью систем управления понимают их способность возвращаться в равновесное состояние после снятия возмущающего воздействия.

Система называется устойчивой, если составляющая переходного процесса с течением времени стремиться к 0.

Устойчивость систем управления характеризует их работоспособность. Принято считать, что работоспособными являются устойчивые системы управления.

 

Основные виды переходных процессов в системах автоматического управления.

 

 

Рисунок 32

 

1(t) – единичное ступенчатое воздействие, которое подаётся на вход системы управления.

1 Сходящийся апериодический процесс соответствующий устойчивой системе управления.

2 Расходящийся апериодический процесс, соответствующий неустойчивой системе управления.

3 Сходящийся периодический процесс, соответствующий устойчивой системе управления.

4 Сходящийся периодический процесс, соответствующий неустойчивой системе управления.

Т.о. на графиках 1 и 3 значение функции от времени стремиться к 0, поэтому такие системы будут являться устойчивыми и работоспособными.

Определение устойчивости системы автоматического управления

Определение устойчивости по корням характеристического уравнения

Т.к. работа системы управления может быть представлена в виде однородного линейного выражения n-й степени переход характеристики можно рассматривать как частные решения данного уравнения. Решение дифференциального уравнения можно представить в виде

 

где   - постоянная интегрирования

 - корень характеристического уравнения

Присваивается  отрицательные, положительные и нулевое значения. Рассмотрим поведение составляющей переходного процесса.

 

 

 

Рисунок 33

 

1   СУ - нейтральная

2   СУ - неустойчивая

3    СУ – устойчивая

Вывод:

Для устойчивых систем автоматического управления необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения стали < 0

Критерий устойчивости

Это математические методы позволяющие определить устойчивость или работоспособность систем не находя корней уравнения.

 

Критерий Гурвица

Основан на составлении матрицы, главная диагональ которой записывается из коэффициентов характеристического уравнения начинается с

Заполнение матрицы производят диагонали вверх по возрасрастанию индексов коэффициентов и вниз по убыванию свободного места заполненного нулями.

Отчёркивая одинаковое число строк и столбцов выделяем дисп. определители Гурвица.

Для устойчивости систем управления необходимо и достаточно, чтобы коэффициент  и все дисп. определители Гурвица были положительные.

Критерий Михайлова

Данный критерий используется если корни характеристического уравнения представлены в виде комплексной формулы.

Данный метод основан на изображении годографа векторов комплексно-частотними функциями.

 

 

Рисунок 34

 

Для устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора комплексно-частотной функции начинался на положительной полуоси, обходил в положительном направлении n квадрантов и нигде не обращается в 0 при изменении  от 0 до