Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.

Для решения интеграла воспользуемся табличной формулой , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается: .

 

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал .

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:             

 

 

Таким образом:

А это уже самый что ни на есть табличный интеграл

естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

“

Проведем замену:

“

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится

Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Пример 4

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом: