Расчет осесимметричных тонкостенных оболочек по безмоментной теории

Геометрия тонкостенной оболочки и предположения, принимаемые при ее расчете. Будем говорить, что тело симметрично относительно оси, если любая плоскость, проходящая через эту ось (осе­вая плоскость), является плоскостью его силовой и геомет­рической симметрии.

Обычно оболочка задается своей срединной поверх­ностью. Оболочка, срединная поверхность которой является поверхностью вращения, называется оболочкой вращения. Рассмотрим такую оболочку (рис. 2.7, а). Назовем: осью оболочки - ось поверхности вращения; меридиональным се­чением - сечение оболочки плоскостью проходящей через ее ось; окружным (коническим) сечением - сечение оболочки конической по­верхностью, нормальной к ее срединной поверхности, вер­шина которой лежит на оси; меридианом - линию пере­сечения срединной поверхности с осевой плоскостью; параллелью - линию пересечения срединной поверхности с названной выше конической поверхностью.

а.	б.
Рис.2.7

Обозначим: - радиус кривизны меридиана (рис. 2.7, б);  - отрезок нормали к срединной поверхности, за­ключенной между срединной поверхностью и осью оболоч­ки;  - центр кривизны меридиана;  -   центр кривизны окружного сечения, лежащий на оси оболочки;  - толщину оболочки;  - давление, которое должно изменяться только в направлении меридиана, чтобы оболочка была осесимметричной;  - координата, отсчитываемая в направле­нии меридиана. Давление на внутреннюю поверхность оболочки считается положительным, давление на наружную поверхность - отрицательным. Радиус   и отрезок  являются главными радиусами кривизны срединной поверхности в данной точке. Если центр кривизны меридиана расположен снаружи оболочки, то  считается отрицательным.

 Предполагаем, что:

1) оболочка тонкостенная, т. е. , где  — наименьший из главных радиусов кривизны;

2) давление изменяется в направлении меридиана доста­точно плавно, в частности к оболочке не прикладываются сосредоточенные силы;

3) меридиан не имеет резких изменений кривизны, в част­ности, изломов;

4} опорные устройства оболочки таковы, что реактивные силы направлены по касательной к меридиану;

5) оболочка непологая, т. е. (рис. 2.7, б) .

Вывод формулы Лапласа. Двумя бесконечно близкими меридиональными и двумя бесконечно близкими окружными сечениями вырезаем из оболочки элемент ABCD и рассматриваем его равновесие (рис. 2.8). Если принятые предположения выполняются, то нормальные напряжения, действующие по граням элемента, можно считать распределенными по толщине равномерно. Состояние оболочки, при котором напряжения распреде­ляются по ее толщине равномерно, называется безмоментным, а теория расчета такой оболочки - безмоментной. Обозначим:  — меридиональное напряжение; — окруж­ное напряжение.

Рис.2.8

В силу осевой симметрии касательные напряжения по граням элемента, совпадающим с меридиональными сече­ниями, равны нулю, следовательно, по свойству парности касательных напряжений они равны нулю и по граням, совпадающим с окружными сечениями.

Найдем проекцию сил, действующих на элемент, на ось Y. Проделаем эту операцию поочередно. Из рис. 2.8 проекция сил, действующих по граням АВ и CD, равна (с учетом равенства ):  (2.49). Аналогично, проекция сил, действующих по граням А D и В C, (с учетом равенства ) равна:  (2.50).

Проекция сил давления, распределенных по поверхности элемента, равна  (2.51). Складывая (2.49), (2.51), (2.50) и приравнивая нулю, получим:   (2.52). Формулу (2.52) называют уравнением Лапласа.

В практическом расчете  определяется из условия рав­новесия отсеченной окружным (коническим) сечением части оболочки. На рис. 2.9 показано сечение произвольной оболочки окружным коническим сечением радиуса  и углом при вершине конуса . Суммарная проекция давле ния действующего на поверхность отсеченной части на ось оболочки на рис. 2.9 обозначена . Суммарная проекция меридионального напряжения  на ось оболочки равна .

Из условия равновесия отсеченной части оболочки по ее оси выражается напряжение   (2.53).

Рис.2.9

Окружное напряжение  из уравнения Лап­ласа после подстановки в него найденного значения .

Для расчета суммарной проекция давления -  в уравнении (2.53) используются две теоремы.

Теорема I. Проекция сил давления, равномерно распределенных по поверхности, на произвольную ось  равна давлению, умноженному на про­екцию этой поверхности, на плоскость перпендикулярную оси .

Теорема II. Проекция сил на вертикаль (направление силы тяжести), гидростатического давления жидкости на некоторую поверхность, равна весу столба жидкости над этой поверхностью.

Расчет осесимметричных тонкостенных оболочек по безмоментной теории широко используется в инженерной практике. Например, большинство труб нагруженных внутренним или внешним давлением жидкости или газа являются тонкостенными и рассчитываются по рассмотренной выше теории.