Категоричность аксиоматической теории целых чисел

Теорема 2. Любые две модели системы целых чисел, если они существуют, изоморфны.

Доказательство.

Предположим, что  и  – модели системы целых чисел, то есть для них выполняются аксиомы 1, 2, 3, 4 аксиоматического определения системы целых чисел. Докажем, что

По характеристическому свойству всякое целое число представляется разностью двух натуральных чисел

;

Установим соответствие  таким образом, что целым числам из  будут поставлены в соответствие такие целые числа из , которые представляются разностью тех же натуральных чисел

 то есть

 то есть …

и проверим условия изоморфизма:

1.   – взаимно однозначное соответствие;

2.   – сохраняет операции сложения и умножения.

Действительно, пусть  то есть . По свойству разности в кольце получаем, что , но . Эти натуральные числа принадлежат  и там они тоже неравны. Таким образом, в .

Это означает, что , то есть

Значит,   – взаимно однозначное соответствие.

 где

По установленному нами соответствию

Аналогично

Итак, , то есть система аксиом аксиоматической теории системы целых чисел категорична.

                                            § 3. Пары первой ступени и их свойства         

Определение. Парами первой ступени назовем упорядоченные пары натуральных чисел, для которых выполняются следующие основные соотношения:

1. 
2. ~
3. 
4. 

Теорема 3. Сложение и умножение пар первой ступени коммутативны, ассоциативны и связаны законом дистрибутивности.

Докажем одно из этих свойств. Например, коммутативный закон умножения:

По определению , .

Но  – натуральные числа, а во множестве натуральных чисел выполняются коммутативные законы сложения и умножения, то есть

Таким образом,  что и доказывает коммутативность умножения пар первой ступени.

Теорема 4. Во множестве пар первой ступени операция вычитания не определена.

Доказательство.

Предположим, что уравнение  разрешимо во множестве пар первой ступени, то есть существует пара  такая, что ,

,

Но вычитание не является алгебраической операцией на множестве натуральных чисел, то есть  могут не принадлежать N. Это и доказывает теорему.

Теорема 5. Понятие эквивалентности пар первой ступени является бинарным отношением эквивалентности на множестве пар первой ступени.

Для доказательства теоремы нужно показать, что для понятия эквивалентности выполняются три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.

Действительно,

1) ~ , так как

2) если ~ , то ~ , так как если  то

3) если ~ и ~ , то ~   так как складывая равенства , получим  откуда  

Модель системы целых чисел

 На множестве  понятие эквивалентности является бинарным отношением эквивалентности. Значит, оно разбивает множество М на непересекающиеся классы эквивалентных пар первой ступени, причем объединение этих классов совпадает со множеством М. Все пары одного класса эквивалентны между собой, пары различных классов – неэквивалентны.

                 ...  

…

…

  Определение. Целым числом называется символ класса эквивалентных пар первой ступени.

Записываем , , …, читаем   определяется парой ,  определяется парой , …

Рассмотрим множество целых чисел  и зададим на нем следующие соотношения:

1)

2) ;

3) .

Покажем, что множество Z является моделью системы целых чисел, то есть для него выполняются аксиомы 1, 2, 3, 4 аксиоматического определения системы целых чисел.

1. Z – кольцо.

Проверим, что сложение и умножение – алгебраические операции в Z. Для этого надо показать, что сумма и произведение двух целых чисел определяются однозначно.

, , ,

, , .

Надо показать, что ~ ,  то есть  (1).

, . Значит, ~ , то есть  (2).

, . Значит, ~ , то есть  (3). Сложив (2) и (3), получим

Учитывая, что  применим свойства операции сложения натуральных чисел, (4) можно записать: , то есть (1) выполняется, а значит сложение – алгебраическая операция на множестве Z. Аналогично доказывается, что умножение – тоже алгебраическая операция на множестве Z.

Таким образом,  

Операции сложения и умножения целых чисел коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом, так как сложение и умножение целых чисел сводится к сложению и умножению пар первой ступени, а для них эти свойства выполняются.

Докажем, что уравнение  (5) разрешимо для  и притом однозначно.

 Предположим, что уравнение (5) разрешимо, то есть существует , , то есть  Значит,  то есть ; учитывая, что для всех  операция сложения коммутативна и ассоциативна, получаем:  то есть  

Итак, если уравнение (5) разрешимо, то его решение  

Покажем, что  действительно является решением уравнения (5).

 так как

Итак, для  уравнение  разрешимо в Z.

Единственность решения проверяется методом «от противного».

Разрешимость уравнения (5) означает, что в Z существует ноль и для любого  существует . 0 – решение уравнения , то есть . Это означает, что 0 – символ класса пар первой ступени с равными компонентами: ,

Если , то число , как решение уравнения , определяется парой .

Итак, Z – кольцо, то есть первая аксиома выполняется.

Итак, мы доказали выполнимость первой аксиомы.

2. .

Рассмотрим множество .

Пары  расположены в одном классе , так как  (свойства коммутативности и ассоциативности сложения натуральных чисел).

Докажем, что Покажем, что в  определены операции сложения и умножения.

, , но   Значит, , а там сложение и умножение определены. Найдем  в Z.

Следовательно, в  определена операция сложения. Аналогично для операции умножения, то есть  

Установим соответствие :    то есть .

  – взаимно однозначное соответствие, так как если  то есть  

– сохраняет операции сложения и умножения, то есть

.

Действительно,

 Значит,

 то есть

Итак,  то есть  отличаются только обозначениями и их можно отождествить.

Определение. Будем считать целое число  равным натуральному числу а.

Тогда