Основные принципы расширения числовых систем.

Лекция 1

           Дисциплина «Числовые системы» имеет непосредственное отношение к вопросам обоснования математики и поэтому играет особую роль в процессе подготовки учителя математики средней школы. В этом курсе рассматриваются теоретические вопросы, связанные с построением основных числовых систем. Программа курса построена по плану последовательного обобщения понятия числа, ведущего свое начало от элементарного процесса счета.

В данном курсе предполагается формирование осознанных представлений о роли и месте линии числа в развитии математической науки; ознакомление с принципом расширения как основным принципом конструктивного построения числовых систем на базе аксиоматической системы натуральных чисел; строгое построение основных числовых систем; обоснование содержательно-методической линии числа в школьном курсе математики.

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

При построении аксиоматической теории натуральных чисел первичными терминами будут являться натуральное «число» и «множество», основными отношениями: «принадлежность» (элемент принадлежит множеству), «равенство» и «непосредственно следовать за», обозначаемое а' (читается «число а штрих следует за числом а», например, за двойкой следует тройка, то есть 2' = 3, за числом 10 следует число 11, то есть 10'= 11 и т.д.).

Множеством натуральных чисел (натуральным рядом, положительными целыми числами) называется множество N с введённым отношением «следовать за», в котором выполнены следующие 4 аксиомы:

А₁. Во множестве N существует элемент, называемый единицей, который не следует ни за каким другим числом.

А₂. Для каждого элемента натурального ряда существует единственный следующий за ним.

А₃. Каждый элемент N следует не более чем за одним элементом натурального ряда.

А₄. (Аксиома индукции) Если подмножество М множества N содержит в себе единицу, а также вместе с каждым своим элементом а содержит и следующий за ним элемент а', то М совпадает N.

Те же аксиомы можно записать кратко с помощью математических символов:

А₁: ($ 1 Î N) (" a Î N) а ' ≠ 1

A₂ : (" a Î N) ($ а ' Î N) a = b => а ' = b',

A₃:   а ' = b' => a = b

A₄ : => М = N

Если элемент b следует за элементом а (b= а'), то будем говорить, что элемент а является предшествующим для элемента b (или предшествует b). Данная система аксиом носит название системы аксиом Пеано (так как была введена в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано). Это лишь один из возможных наборов аксиом, позволяющий определить множество натуральных чисел; существуют и другие эквивалентные подходы.

СЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Сложением натуральных чисел называется бинарная операция, удовлетворяющая следующим двум аксиомам:

 

C 2:

Пример. Найдём на основании определения сумму 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1 ' = (2 + 1) ' = (2 ') ' = 3 ' = 4.

Теорема 1 (о существовании и единственности сложения). Каждой паре натуральных чисел а и b соответствует однозначно определённая сумма а + b, удовлетворяющая определению сложения (аксиомам С1 и С2).

Теорема 2. Для любых натуральных чисел а, b, c выполняется ассоциативный закон сложения: (a + b) + c = a + (b +c)

Доказательство (индукцией по с):

1) При с = 1 имеем: 

2) Предположим справедливость равенства при c=k: (a+b)+k = a+(b+k).

Согласно принципу индукции теперь требуется доказать, что

(a+b)+k^/  = a+(b+k^/). Докажем это.

Таким образом, для k^/  утверждение справедливо, следовательно, согласно теореме индукции, ассоциативный закон справедлив для любых натуральных чисел.

          Теорема 3. Для любых натуральных чисел выполняется коммутативный закон сложения a + b = b + a.

Доказательству теоремы предпошлём лемму.

Лемма 1. a + 1 = 1 + a (Л1)

Докажем её индукцией по а.

1) Проверим справедливость равенства при а=1: 1 + 1 = 1 + 1  (справедливо).

2) Предположим, что равенство справедливо при a = k: k + 1 = 1 + k.

Докажем, что равенство справедливо при a = k ': k ^' + 1 = 1 + k ^'.

.

Лемма доказана.

Пусть а – фиксированное постоянное число, докажем теорему индукцией по b.

1)  Для b = 1 утверждение теоремы истинно по лемме 1.

2) Предположим, что равенство справедливо при b = k: a + k = k + a.

Докажем, что равенство справедливо при b = k ':

.

Условия теоремы математической индукции выполняются, следовательно, коммутативный закон сложения справедлив при  " b Î N, а т.к. а – фиксированное постоянное число, то при " а, в Î N.

Теорема 4. Сумма двух чисел не равна ни одному из слагаемых: a + b ¹ b.

Теорема 5.  а = b => a + c = b + c.

Следствие 1. a + с ¹ b + с = > a ¹ b (доказательство проводится методом от противного).

Теорема 6. a + c = b + c => а = b.

Следствие 2. a ¹ b = > a + с ¹ b + с (доказательство методом от противного).

Решением уравнения а + х = b (а, b – натуральные числа, х – переменная) называется такое натуральное число с, при подстановке которого вместо х в уравнение, получается верное числовое равенство а + с = b

Теорема 7. Если уравнение а + х = b имеет решение, то это решение единственно.

УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Умножением натуральных чисел называется бинарная операция, удовлетворяющая следующим двум аксиомам:

У1: а × 1 = а

У2:

Найдём на основании определения произведение 2×2:

Теорема 1. Для любых двух чисел а и b существует однозначно определённое произведение a×b, удовлетворяющее определению умножения.

Теорема 2. Для любых натуральных чисел а, b, c выполняется дистрибутивный закон:

(a + b)×c = a×с + b×c.

Теорема 3. Для любых натуральных чисел выполняется коммутативный закон умножения a × b = b × a.

Лемма 2. a × 1 = 1 × a (Л2)

Докажем её индукцией по а.

1) Проверим справедливость равенства при а=1: 1 (справедливо).

2) Предположим, что равенство справедливо при a = k: k  1 = 1 k.

Докажем, что равенство справедливо при a = k ': k ^'  1 = 1 k ^'.

.

Лемма доказана.

Пусть а – фиксированное постоянное число, докажем теорему индукцией по b.

1)  Для b = 1 утверждение теоремы истинно по лемме 1.

2) Предположим, что равенство справедливо при b = k: a × k = k × a.

Докажем, что равенство справедливо при b= k':

.

Условия теоремы математической индукции выполняются, следовательно, коммутативный закон умножения справедлив при  " b Î N, а т.к. а – фиксированное постоянное число, то при " а, в Î N.

В теореме 2 доказана одна из форм дистрибутивного закона. Теперь мы имеем возможность доказать и вторую форму дистрибутивного закона.

Теорема 4. Для любых натуральных а, b, c: a×(b + c) = a×b + a×c.

Теорема 5. Для любых натуральных чисел а, b, c выполняется ассоциативный закон умножения: (a × b) × c = a × (b × с)

Теорема 6. а = b => a × c = b × c.

Следствие 1. a × с ¹ b × с => a ¹ b (доказательство методом от противного).

 

Модель системы целых чисел

 На множестве  понятие эквивалентности является бинарным отношением эквивалентности. Значит, оно разбивает множество М на непересекающиеся классы эквивалентных пар первой ступени, причем объединение этих классов совпадает со множеством М. Все пары одного класса эквивалентны между собой, пары различных классов – неэквивалентны.

                 ...  

…

…

  Определение. Целым числом называется символ класса эквивалентных пар первой ступени.

Записываем , , …, читаем   определяется парой ,  определяется парой , …

Рассмотрим множество целых чисел  и зададим на нем следующие соотношения:

1)

2) ;

3) .

Покажем, что множество Z является моделью системы целых чисел, то есть для него выполняются аксиомы 1, 2, 3, 4 аксиоматического определения системы целых чисел.

1. Z – кольцо.

Проверим, что сложение и умножение – алгебраические операции в Z. Для этого надо показать, что сумма и произведение двух целых чисел определяются однозначно.

, , ,

, , .

Надо показать, что ~ ,  то есть  (1).

, . Значит, ~ , то есть  (2).

, . Значит, ~ , то есть  (3). Сложив (2) и (3), получим

Учитывая, что  применим свойства операции сложения натуральных чисел, (4) можно записать: , то есть (1) выполняется, а значит сложение – алгебраическая операция на множестве Z. Аналогично доказывается, что умножение – тоже алгебраическая операция на множестве Z.

Таким образом,  

Операции сложения и умножения целых чисел коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом, так как сложение и умножение целых чисел сводится к сложению и умножению пар первой ступени, а для них эти свойства выполняются.

Докажем, что уравнение  (5) разрешимо для  и притом однозначно.

 Предположим, что уравнение (5) разрешимо, то есть существует , , то есть  Значит,  то есть ; учитывая, что для всех  операция сложения коммутативна и ассоциативна, получаем:  то есть  

Итак, если уравнение (5) разрешимо, то его решение  

Покажем, что  действительно является решением уравнения (5).

 так как

Итак, для  уравнение  разрешимо в Z.

Единственность решения проверяется методом «от противного».

Разрешимость уравнения (5) означает, что в Z существует ноль и для любого  существует . 0 – решение уравнения , то есть . Это означает, что 0 – символ класса пар первой ступени с равными компонентами: ,

Если , то число , как решение уравнения , определяется парой .

Итак, Z – кольцо, то есть первая аксиома выполняется.

Итак, мы доказали выполнимость первой аксиомы.

2. .

Рассмотрим множество .

Пары  расположены в одном классе , так как  (свойства коммутативности и ассоциативности сложения натуральных чисел).

Докажем, что Покажем, что в  определены операции сложения и умножения.

, , но   Значит, , а там сложение и умножение определены. Найдем  в Z.

Следовательно, в  определена операция сложения. Аналогично для операции умножения, то есть  

Установим соответствие :    то есть .

  – взаимно однозначное соответствие, так как если  то есть  

– сохраняет операции сложения и умножения, то есть

.

Действительно,

 Значит,

 то есть

Итак,  то есть  отличаются только обозначениями и их можно отождествить.

Определение. Будем считать целое число  равным натуральному числу а.

Тогда

Свойства целых чисел

Определение. Целое число  называется положительным, если a > b.

Свойство 1. Кольцо Z – расположенное.

Следствие. Кольцо целых чисел упорядоченное.

Для доказательства достаточно определить понятие «больше».

Определение. Будем считать целое число  больше целого числа , если их разность положительна.

  –  положительное число.

Свойство 2. Кольцо целых чисел архимедовски расположено.

Свойство 3. Кольцо целых чисел – область целостности с единицей.

Свойства рациональных чисел

 или

Определение. Рациональное число  называется положительным, если целое число  положительно.

Свойство 1. Поле Q – расположенное поле.

Следствие. Поле Q упорядоченное поле.

Для доказательства достаточно определить понятие «больше» (>).

Определение. Пусть  Будем считать , если число  положительное.

Свойство 2. Q – архимедовски расположенное поле.

Свойство 3. Q – всюду плотное множество: между любыми двумя неравными рациональными числами существует рациональное число.

Лекция 1

           Дисциплина «Числовые системы» имеет непосредственное отношение к вопросам обоснования математики и поэтому играет особую роль в процессе подготовки учителя математики средней школы. В этом курсе рассматриваются теоретические вопросы, связанные с построением основных числовых систем. Программа курса построена по плану последовательного обобщения понятия числа, ведущего свое начало от элементарного процесса счета.

В данном курсе предполагается формирование осознанных представлений о роли и месте линии числа в развитии математической науки; ознакомление с принципом расширения как основным принципом конструктивного построения числовых систем на базе аксиоматической системы натуральных чисел; строгое построение основных числовых систем; обоснование содержательно-методической линии числа в школьном курсе математики.

Основные принципы расширения числовых систем.

Если числовая система А расширяется до числовой системы В, то это расширение должно удовлетворять следующим свойствам:

1. А есть подмножество множества В;

2. Операции и отношения, заданные на А определены также и на В, причем их смысл как элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, совпадает с тем, какой они имели до расширения;

3. Во множестве В должна быть выполнима операция, которая в А невыполнима или не всегда выполнима;

4. Расширенное множество В должно быть минимальным из всех расширений системы А, обладающих свойствами 1-3, и определяться однозначно с точностью до изоморфизма.

 Отправным пунктом последовательных расширений является рассмотрение системы натуральных чисел на основе общепринятой системы аксиом Пеано.

Современное учение о числе базируется на арифметике натуральных чисел и дальше развивается по схеме   Однако в установившейся школьной практике сохраняется историческая последовательность  Числовая линия, рассматриваемая в средней школе, завершается изучением комплексных чисел (в профильных классах). Курс «Числовые системы» дает полный ответ на вопрос о существовании чисел, более общих, чем комплексные. В этом курсе строго доказываются все известные свойства операций над числами и целый ряд понятий, используемых в школьной математике. Он тесно связан с учебными дисциплинами «Алгебра» (алгебраические структуры), «Математический анализ» (система действительных чисел), «Элементарная математика», «Теория чисел».

Числовая линия – одна из основных содержательно-методических линий школьного курса математики. C натуральными числами и действиями над ними дети, фактически, знакомы на интуитивном уровне еще в дошкольном возрасте; математическая подготовка в средней общеобразовательной школе любого профиля включает формирование представлений о натуральных, целых, рациональных и действительных числах и основных операциях над ними. Таким образом, в содержание школьного математического образования заложена идея последовательного расширения числовой системы. Отсюда следует, что учитель математики должен достаточно глубоко знать принципы построения основных числовых систем и иметь осознанное представление о строгих математических теориях этих систем.

При аксиоматическом построении математической теории соблюдаются определенные правила:

- некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

-каждому понятию, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию;

-формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляют определенные требования. К таким требованиям относятся независимость, непротиворечивость, полнота и категоричность.

       Непротиворечивой называется аксиоматическая теория, в которой нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Поскольку построить и проверить все возможные утверждения достаточно развитой теории крайне затруднительно, если не сказать невозможно, то для проверки непротиворечивости аксиоматических теорий используется так называемый метод моделей. Моделью аксиоматической теории W называется некоторая другая аксиоматическая (или даже интуитивная теория) W*, такая, что всем основным объектам и основным отношениям теории W поставлены в соответствие некоторые объекты и отношения W*, так что всем аксиомам W соответствуют истинные утверждения (теоремы) W*. Если модель удается построить в рамках некоторой, заведомо непротиворечивой, аксиоматической теории, то и наша аксиоматическая теория будет непротиворечивой (иначе, была бы противоречивой и теория, в которой построена модель). Для самой же первой из всех аксиоматической теории логический путь обоснования непротиворечивости закрыт. Такой «первой» аксиоматической теорией служит теория натуральных чисел. Свидетельством непротиворечивости данной теории может служить лишь опыт работы с натуральными числами (который составляет более 6 тысячелетий, во время которых противоречий в этой теории найдено не было).

Независимой называется такая система аксиом, в которой ни одну из аксиом нельзя доказать, исходя из остальных, как теорему.

Полнота аксиоматической теории – требование к аксиоматической теории согласно которому любое утверждение из данной теории либо само должно является теоремой, либо его отрицание является теоремой. Это требование не является справедливым для большинства теорий, в том числе и для аксиоматической теории натуральных чисел (теорема о том, что аксиоматическая теория натуральных чисел не является полной в широком смысле, доказана К. Гёделем в 1931 году).

Категоричность аксиоматической теории – требование к аксиоматической теории, согласно которому любые две модели данной аксиоматической теории должны быть изоморфны между собой (две модели называются изоморфными, если существует такое взаимно-однозначное отображение одной модели на другую, которое сохраняет все основные отношения между основными объектами данных моделей).