Уравнения Лагранжа 2-го рода

 

Пример 8.1

Каток , представляющий собой сплошной однородный цилиндр массы  радиуса , катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. К оси катка привязан трос, переброшенный через неподвижный блок  и растягиваемый грузом , масса которого  (Рис. 8.1). Блок  представляет собой сплошной однородный цилиндр массы . В начальный момент система находится в покое, пружина не растянута. Определить движение системы, предполагая, что при качении катка возникает постоянный момент сопротивления .

 

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату  оси катка и удлинение пружины . Вычислим кинетическую энергию системы:

                

 

Уравнения Лагранжа 2–го рода в рассматриваемом случае имеют вид:

 

                                                                             

Кинетическая энергия в рассматриваемом случае не зависит явным образом от обобщенных координат, поэтому

 

Рис.8.1

Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:

 

Вычислим обобщенные силы: пусть  тогда

 

пусть  тогда   ,

где  — коэффициент жесткости пружины.

Положим для определенности  В этом случае уравнения Лагранжа примут вид:

Интегрируя полученную систему уравнений при нулевых начальных условиях, находим:

 

где

причём,

 

Пример 8.2

Каток массы  радиуса  может перекатываться без скольжения по горизонтальной плоскости. К оси катка привязана нерастяжимая нить длинной , на конце которой закреплен шарик массы  (Рис.10.3). Составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Каток считать сплошным однородным цилиндром. Сопротивлением качения пренебречь.

 

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату  оси катка и угол отклонения нити от вертикали . Вычислим кинетическую энергию системы:

Каток катится без проскальзывания и, следовательно,

Учитывая, что   

вычисляем проекции скорости точки  на оси координат:

 

Тогда

 

 

Полагая для определенности , получаем кинетическую энергию системы:

Вычислим частные производные по обобщенным скоростям:

 

            

 

Рис.10.3

Вычислим частные производные по обобщенным координатам:

 

Вычислим обобщенные силы: пусть  тогда . Отсюда

                                                                             

Пусть    тогда                     

Отсюда: 

 

Уравнения Лагранжа принимают вид:

 

                                                                             

По условию колебания малые, т.е.  и  Пренебрегая малыми более высокого порядка  получаем:

 

Пример 8.3

Призма (тело 1) массы  может скользить по идеально гладкой горизонтальной поверхности. В вершине призмы закреплена ось барабана лебедки (тело 2). Конец троса прикреплен к оси катка (тело 3), который катится без проскальзывания по боковой поверхности призмы (Рис. 8.3). Барабан лебедки и каток — сплошные однородные цилиндры одинаковой массы  и одинакового радиуса . К барабану лебедки приложен постоянный вращающий момент .

Получить дифференциальные уравнения движения системы на основе уравнений Лагранжа 2–го рода.

 

Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат примем координату  призмы и относительную координату оси катка . Вычислим кинетическую энергию системы:

 

Учитывая, что  

получаем:

                                          

 

Рис. 8.3

 

Вычислим обобщенные силы: пусть  тогда      отсюда

 

пусть  тогда  и

отсюда

Уравнения Лагранжа принимают вид:

                                                                             

          

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 48.12; 48.19; 48.28; 48.26; 48.27; 48.28; 48.29.  

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-36.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Антонов В.И., Белов В.А., Егорычев О.О., Степанов Р.Н. //Курс теоретической механики (теория и практика) – М.: Архитектура – С, 2011 г.
2. Мещерский И.В.// Сборник задач по теоретической механике. – Спб.: Лань, 2010 г.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ: