Определение динамических реакций, возникающих при течении жидкости

Для определения динамических реакций стенок каналов, труб, водоводов, возникающих при установившемся течении жидкости, используется теорема об изменении количества движения в интегральной или дифференциальной формах:

    или           ,

где   – импульс силы  за время .

 

Пример 4.6

Определить горизонтальную составляющую  силы давления на опору колена трубы, возникающую при движении воды. Труба постоянного сечения имеет радиус , вода течёт с постоянной скоростью  (Рис. 4.6).

 

Рис. 4.6

При стационарном течении несжимаемой жидкости на прямолинейных участках трубы количество движения частиц жидкости не изменяется, так как скорость частиц постоянна.

В качестве механической системы рассматриваем массу жидкости, заключённую в начальный момент времени  в объёме между сечениями  и , проведёнными на прямолинейных участках трубы. За элементарный промежуток времени  рассматриваемая масса переместится и займёт положение между сечениями  и .

Вычислим изменение количества движения:

,

где

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и ;

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и ;

 – количество движения массы жидкости в объёме между сечениями  и .

 

  Как видно, изменение количества движения жидкости за время  равно разности количеств движения  вытекающей из первоначального объёма жидкости и количества движения  жидкости, втекающей в этот объём. 

В проекциях на горизонтальную ось  имеем:

 

,

где  – плотность жидкости. Отсюда:

 

.

 

Заметим, что единственная внешняя сила, которая имеет ненулевую проекцию на ось , это горизонтальная составляющая силы реакции стенок трубы :

 

.

Учитывая третий закон Ньютона, получаем искомую горизонтальную силу давления воды на стенки трубы:

.

 

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

 

Из сборника задач И.В.Мещерского: 35.7; 35.10; 35.11; 35.14; 35.17; 35.18; 35.19; 35.20; 36.9; 36.10; 36.11; 36.12; 36.13.

 

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА - теория и практика»: комплект СР-29.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Теорема об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

Пример 4.7

Маховик вращается вокруг оси, проходящей через его центр масс, с угловой скоростью . Электрический тормоз создает тормозящий момент, пропорциональный угловой скорости маховика . Момент  от трения в подшипниках считается постоянным (Рис.4.7). Определить, через какой промежуток времени  остановится маховик, если момент инерции маховика относительно оси вращения .

 

Рис.4.7

Дифференциальное уравнение вращательного движения в рассматриваемом случае имеет вид:

                                                                             

         или              

 

Интегрируя полученное уравнение при заданных начальных условиях:

 

определяем время торможения: 

.

 

Пример 4.8

Шарик , находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня  длины , приводится во вращение вокруг вертикальной оси  с начальной

угловой скоростью  (Рис. 4.8). Сила сопротивления жидкости пропорциональна угловой скорости . Определить, через какой промежуток времени  угловая скорость стержня станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов , которое сделает стержень за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.

 

В динамике, также как и в статике, существенное значение имеет правильный выбор тела, движение которого будет рассматриваться. В данной задаче имеет смысл рассмотреть движение системы, состоящей из шарика и стержней  и . При таком выборе неизвестные реакции опор не войдут в уравнение движения. На Рис. 4.8 изображены все внешние силы, действующие на указанную систему. Из всех этих сил только одна – сила сопротивления создает момент относительно оси вращения системы:

 

         или    

Поскольку формулировка задачи содержит несколько вопросов, имеет смысл интегрировать уравнение с переменным верхним пределом:

откуда               и      

 

Рис.4.8

Полагая в полученном решении , определяем промежуток времени , по истечение которого угловая скорость уменьшится наполовину:

 

 

Число оборотов , сделанных стержнем за время , связано с углом поворота стержня: . Интегрируя равенство , получаем:

Подставляя сюда значение , получаем:

 

                    и, следовательно,