Движение тела в вязкой среде.

 Интегрирование простейших дифференциальных уравнений. Приведем примеры двух уравнений:

Во-первых, что значит решить дифференциальное уравнение? При решении алгебраических уравнений вы ищите числа – корни уравнения, которые его при их подстановки переводят уравнение в тождество (равенство). При решении дифференциального уравнения вы должны найти функции, которые переведут его в тождество. Вообще говоря, вы можете просто догадаться о виде функции. И если после ее подстановки в уравнение вы получаете тождество – вы можете быть уверены, что решение найдено, так как математики доказали единственность решения.

Начнем с первого уравнения. Разделим переменные так, чтобы игреки были только в левой части, а иксы – только в правой части равенства:

Теперь запишем интегралы от левой и правой части:

Вычисляем интегралы с точностью до произвольной постоянной:

В какую часть добавить константу безразлично, просто принято дописывать ее в правую часть.

Если, например, дано дополнительное условие , которое в физике называют начальным условием, то можно определить постоянную интегрирования:

Следовательно, в данном случае постоянная интегрирования равна нулю и решение уравнения равно:

   Второй пример сложнее, так как не разделяются переменные. Это уравнение можно записать в несколько иной форме:

    

Если занулить правую часть, то оставшееся уравнение, которое называется однородным, решить достаточно просто:

Из-за дальнейших преобразований константу интегрирования удобнее написать через логарифм. Далее получаем искомую функцию в явном виде:

  

Если подумать, то это решение можно было бы написать сразу, так как есть только одна нам известная функция, которая при дифференцировании переходит сама в себя – это экспонента.

Если найденную функцию подставить в исходное уравнение, которое нам надо решить, то левая часть будет равна нулю, а нам надо, чтобы получилось . Можно сообразить, что к найденной функции надо добавить линейную функцию вида:

      

Тогда решение исходного неоднородного уравнения будет состоять из суммы двух функций:

Чтобы определить коэффициенты, подставим ее в исходное уравнение:

Чтобы получилось тождество необходимо и достаточно выполнение равенств:

Разрешая систему относительно неизвестных коэффициентов, находим:

,      и

Таким образом, решением исходного неоднородного уравнения является функция:

Постоянная интегрирования  находится из дополнительных условий.

Движение тела при наличии только силы сопротивления. Начнем рассмотрение движения тела, на которое действует только сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы. Начальная скорость тела , Начало координат всего удобней совместить с телом в начальный момент времени. Так как движение одномерное, то достаточно одной оси . Уравнение движения будет иметь вид:

                        

с начальными условиями:

                             

Уравнение движения надо записать не через производную от координаты, а через производную от скорости. Это позволит разделить переменные:

Решение этого уравнения было найдено в математическом введении:

С помощью первого начального условия определяется константа интегрирования. Она равна . Таким образом, скорость тела уменьшается по экспоненте:

         

Запишем последнее уравнение через производную от координаты, разделим переменные и получим выражение для второго интегрирования по времени:

После интегрирования получим:

Используя второе начальное условие, определяем вторую константу интегрирования:

Таким образом, решение исходного уравнения движения имеет вид:

                

Путь, которое тело пройдет в среде до остановки, находится, если время устремить в бесконечность:

         

Следует обратить ваше внимание на то, что его можно найти гораздо проще, не находя зависимости скорости от времени:

Константа согласно начальным условиям равна . Поэтому имеем связь координаты со скоростью:

Из последнего выражения находится путь (при этом ). Заметим, что не один студент не нашел этого решения при дополнительном вопросе на экзамене. Все сначала определяли скорость.

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли  с учетом силы сопротивления. Пусть тело без начальной скорости падает с некоторой высоты. Выберем начало отсчета в точке нахождения тела в начальный момент времени.

Уравнение движения тела:

          

Начальные условия для рассматриваемого движения имеют вид:

               

Выразим производную через скорость:

Решение однородного уравнения мы знаем:

Легко сообразить, что к этому решению надо добавить некоторую константу, величина которой определяется из равенства:

Таким образом, решением уравнения  будет являться сумма функций:

         

Из первого начального условия находим константу:

Находим зависимость скорости от времени:

   

Из последнего выражения видно, что скорость при стремиться к некоторой постоянной величине, равной

Физически это означает, что сила сопротивления стала равна силе тяжести. Далее тело падает с постоянной скоростью.

 

Отступление. Сделаем маленькое отступление от продолжения решения задачи. Эта формула получена из достаточно длинных вычислений. Это решение математика, знающего теорию дифференциальных уравнений. Он получит этот ответ, если не знает, какие буквы что обозначают. А как физик может найти решение, не делая всех выкладок, зная, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела в вязкой среде?

Предположим, некоторый физик наблюдал падение маленького металлического шарика в сосуде с глицерином. Он обнаружил, что вначале шарик двигается ускоренно, а пройдя примерно десяток сантиметров равномерно. Ему захотелось аналитически описать движение шарика. Посмотрим его рассуждения, которые привели к правильному математическому описанию явления. Предполагается, что ему известно, что ускорение тела пропорционально, действующей на него силе.   И он имеет понятие об элементарных функциях и их свойствах. 

Он рассуждает примерно так. Движение замедлилось, когда тело набрал скорость. Можно предположить, сила должна быть пропорционально скорости (и конечно направлена против направления скорости).

Если тело движется с постоянной скоростью, то сила сопротивления должна быть равна силе тяжести. Следовательно, на участке, где шарик падает с постоянной скоростью:

В самом начале падения, когда скорость шарика очень маленькой, можно считать, что

силы сопротивления нет. Тогда его начальная скорость приближенно будет равна:

И так, надо найти формулу, которая бы давала при времени, стремящемся к нулю,

скорость равную:

А при времени, стремящемся к бесконечности, скорость равную:

   Чтобы получить искомую формулу физик воспользовался еще одной подсказкой. Он знал единственную функцию, которая при дифференцировании и при интегрировании «переходит в саму себя» - это экспонента (с точностью до постоянного множителя). Сила сопротивления в среде пропорциональна скорости (по сделанному предположению):

В тоже время сила пропорциональна ускорению, то есть производной от скорости:

Как же так? Одна и та же функция должна быть пропорциональной функции и производной от этой функции. Я догадался, воскликнул он радостно, эта функция должна быть экспонентой, только она, сколько не дифференцируй «переходит сама в себя». Причем в показателе обязательно должно стоять время. Но если показатель будет положительным, то она возрастать неограниченно. Это не годится. Значит показатель экспоненты отрицательный. Но тогда она будет стремиться к нулю при больших временах, а мне нужна константа. Следовательно, решает он, функция должна представлять сумму двух членов:

При малых временах эта функция приближенно равна:

Можно немножко подправить исходную функцию, чтобы третий член получился положительным:

Тогда при малых временах получим:

А нам нужен только третий член. Следовательно, первая константа равна единице, а функция должна иметь вид:

При больших временах вне зависимости от величины второй константы получается единица. Следовательно, эту разность надо умножить на скорость установившегося движения:

Написав приближенное выражение для  экспоненты при малых временах, получим:

Чтобы в формуле осталось необходимое произведение , надо, чтобы вторая константа была равна:

Формула получена, она удовлетворяет оба придельных случая:

Осталось вместо силы тяжести поставить произвольную постоянную силу.

После вывода формулы необходимо на опыте проверить полученный результат. И после подтверждения ознакомить мир со своим открытием. Не надо думать, что физик все это сообразил за время, которое вам понадобилось на чтение. Он даже тогда, когда ложился спать, в уме крутил свою задачу.

Может быть, вы знаете из научно-популярной литературы, что именно таким методом М.Планк получил формулу для излучения черного тела, которая породила квантовую физику, а ему принесла нобелевскую премию.

Для чего сделано отступление? Для того чтобы показать, что физика – это развитие мозгов. Не имеет значения, чем вы будете заниматься после окончания института. Мозги нужны везде! 

 

Продолжение решения задачи. Продолжим решение задачи. Найдем зависимость координаты от времени в предположении, что скорость вплоть падения будет увеличиваться:

Из второго начального условия находим константу:

Подставив ее в предыдущее уравнение, получим:

    

Время падение находится из уравнения при :

Получили трансцендентное уравнение, которое надо решать численно.

Были достаточно большие вычисления. Можно допустить по невнимательности ошибку. Поэтому всегда советую при возможности (а она практически всегда есть) проверить ответ.

Если показатель экспоненты много меньше единицы, и сила сопротивления исчезающее мала, то экспоненту можно разложить в ряд, ограничившись первым приближением. Получим:

Как видите, получили, как и должно быть, зависимость при отсутствии силы сопротивления. Проверим решение таким же образом зависимость  для координаты:

В этом случае пришлось раскладывать до второго приближения. Опять получили правильный ответ.

Полезно знать, что экспонента раскладывается в ряд:

При  можно приближенно ограничиться несколькими слагаемыми, в зависимости от того, насколько хорошо выполняется неравенство.

В качестве второго примера рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, но при наличии силы сопротивления. Напишем систему уравнений движения тела в векторном виде:

Спроектировав его на координатные оси, получим систему двух уравнений:

                   

Первые интегралы обоих уравнений можно написать сразу, так как аналогичные уравнения были решены выше:

Определим константы интегрирования из начальных условий:

              

Перегруппируем члены во втором уравнении:

   

Проверим, переходят ли полученные уравнения в систему уравнений  при отсутствии силы сопротивления. Чтобы убедиться в этом достаточно в первое уравнение системы подставить . При проверке второго в первое слагаемое также надо подставить , во втором слагаемом надо разложить экспонент, ограничившись первым приближением, после чего оно перейдут в . Мы еще раз очень советуем делать такие проверки.

Из второго уравнения для движения по вертикали можно определить время подъема, приравняв скорость нулю:

(15)

Интегрируя уравнения (13), находим координаты тела в зависимости от времени:

Константы можно найти из начальных условий . Если далее в окончательное уравнение подставить время подъема, получим максимальную высоту подъема тела. Сделайте это сами, пользы будет больше (для вас!). Однако решить задачу до конца в аналитике нельзя, так как в предыдущем примере вы видели, что для времени падения получается трансцендентное уравнение. Поэтому для определения расстояния до точки падения придется заниматься численными расчетами.

 

Движение тела при больших скоростях. Сила сопротивления при больших скоростях движения. При увеличении скорости движения тела в среде сила сопротивления меняет свой характер – зависимость от скорости перестает быть линейной. Мы рассмотрим пример для произвольного показателя степени скорости. Пусть тело имеет некоторую начальную скорость. Опишем движения тела, если на него действует только сила сопротивления. Уравнение движения и его первый интеграл в этом случае имеет вид:

Определяем константу из начального движения:

Время до остановки тела найти принципиально нельзя. Можно найти только интервал времени, за который скорость уменьшится до определенного предела. Почему так? В данном случае математика подсказывает нам о не корректности постановки задачи. Сила сопротивления не может быть такой до остановки тела. Она должна перейти в линейную зависимость при малых скоростях. Для более детального объяснения надо знать основы гидродинамики.