Движение тел в неинерциальных системах отсчета.

Из преобразования Галилея для скорости

видно, что ускорение в неподвижной системе координат (обозначения величин без штрихов), которую мы будем считать инерциальной, связано с ускорением в движущейся относительно нее (штрихованные) соотношением:

Напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в движущейся системе:

   

И если движущаяся система двигается с ускорением, то в ней возникают добавочные силы, называемые силами инерции . В отличие от «физических» сил, возникающих при взаимодействии тел, им нельзя указать тела, «порождающих» их. Может возникнуть вопрос. Зачем переходить в такую систему, в которой в уравнения движения появляются добавочные силы? Я приведу всего лишь один убедительный пример, что такой переход более чем оправдан. Предположим мы хотим рассчитать траекторию межконтинентальной ракеты. Если вы хотите провести расчет в инерциальной системе, то надо рассматривать это движение в системе связанной с Солнцем. Но тогда придется рассчитывать и движение Земли, то есть рассматривать движение двух взаимодействующих тел, одно из которых еще и вертится. Безусловно, проще считать Землю неподвижной, но ввести при этом силы инерции.

Начнем с самого простого случая. Система  движется ускоренно, но движение поступательное. Тогда в ней возникает сила инерции равная:

,

то есть направленная в противоположную сторону ее ускорению .

Мы ограничимся рассмотрением двумя видами движения системы , которые нам необходимы для решения задач: 1. Система  движется поступательно, 2. Система  вращается вокруг оси  с постоянной угловой скоростью . Для произвольного движения  все выводы желающие могут посмотреть в первом томе Д.В. Сивухина.

Напомним правило дифференцирования произвольного вектора по времени:

,

Вектор угловой скорости  перпендикулярен плоскости, в которой поворачивается вектор  и направлен по правилу правого винта. Если величина вектора не меняется, а он только поворачивается, то в последнем выражении остается только второй член. Применим это выражение для дифференцирования по времени ортов вращающейся системы:

            

Для того чтобы найти скорость в неподвижной системе координат, надо продифференцировать радиус-вектор в  системе по времени с учетом того, что относительно неподвижного наблюдателя ее орты поворачиваются:

  

Теперь можно найти связь между ускорениями в этих системах (не забывая каждый раз дифференцировать орты, так как эти орты вращающейся системы координат):

    

Первые два члена после второго знака равенства находятся по формуле аналогичной выше для дифференцирования координаты:

Осталось написать уравнение движения (умножив предыдущее выражение на массу) во вращающейся системе. Но прежде преобразуем последнее слагаемое к более удобному виду

.

Заменяя произведение массы на ускорение в неподвижной системе на силу, окончательно получим:

Второе слагаемое называется силой Кориолиса, последнее центробежной силой:

,

Рассмотрим несколько ранее решенных задач, но с учетом вращения Земли.

 

Эпизод с экзамена. Препод: Напишите определение момента импульса частицы.

Чукча:

Препод: Правильно. А если частица, относительно которой Вы вычисляете момент, двигается, то, как найти момент импульса другой частицы относительно движущейся?

Чукча:

Препод: Молодец. Из двух точек, находящихся на горизонтальной поверхности на расстоянии , одновременно бросили два точечных тела с одинаковыми скоростями , под одинаковым углом к горизонту  навстречу друг другу. Найдите момент импульса одной частицы (точечного тела) относительно другой в момент времени, когда частицы будут находиться на высоте равной половине максимальной. Вы поняли условие?

Чукча: Условие понятно.

Препод начал спрашивать другого студента, а Чукча занялся вычислениями. Через некоторое время препод подошел посмотреть, что получилось. Но Чукча сказал, что он еще не готов, и у него кончилась бумага, так как требуются длинные вычисления. Не важно, чем кончился экзамен. А вот правильное решение имеет смысл привести.

В свободно падающей системе координат начальная относительная скорость частиц по модулю равна . Но главное в том, что она направлена по прямой, соединяющей частицы. Следовательно, искомый момент импульса равен нулю. В последующие времена ситуация не изменится, так как по вертикали частицы будут двигаться синхронно. Бумага вообще не нужна, так как это можно сообразить в уме.

 

Несчастье в лифте. В движущемся с ускорением лифте из кармана выпал мобильник. Сколько времени будет падать телефон?  Верх или вниз предпочтительней движение лифта для целостности мобильника? То есть надо найти какая относительная скорость меньше.

Если перейти в систему координат, связанную с лифтом, а начало оси выбрать в точке начала падения телефона, то в этой системе второй закон Ньютона в проекции на ось  будет иметь вид:

Знак плюс соответствует движению лифта вверх, знак минус – движению вниз. Времена падения соответственно будут равны (при высоте , с которой его растяпа уронил):

Находим относительную скорость в момент удара мобильника о пол:

Как видите, если ронять, так уж лучше, когда едешь вниз. Если трос лифта оборвется, то телефон можно успеть положить обратно в карман, хотя особого смысла в этом нет.

 

О невесомости на спутниках. Приливные силы. На круговой орбите в экваториальной плоскости летает массивный спутник, имеющий форму цилиндра. В нем находятся два космонавта, массой которых можно пренебречь по сравнению с массой спутника, которой можно считать однородным цилиндром. Чему будет равно натяжение невесомого шнура, если космонавты начнут уменьшать его длину? Размеры, проставленные на рисунке, считать известными.

Рассмотрим силы, действующие на космонавтов в системе координат, связанной со спутником. В системе координат, связанной со спутником, выберем начало координат на оси  в центре масс спутника (ось  совпадает по направлению с радиусом к центру масс). В этой системе на космонавта действуют две силы: притяжение к Земле и центробежная сила инерции. Их суммарная проекция на ось  равна:

В силу малости размера спутника по сравнению с расстоянием его от центра Земли второй член можно разложить по малому параметру  и ограничиться первым приближением. Учтя, что при  эти силы равны, получим:

Если космонавты начнут тянуть на себя шнур, чтобы начать медленно двигаться дуг к другу, то в начальный момент натяжение шнура будет равно:

С такой же по величине каждый давит на свой «пол» (что для другого потолок). Так что, на больших космических спутниках абсолютной невесомости нет.

Аналогичные силы возникают при вращении Земли и Луны вокруг их центра масс. Эти силы вызывают приливы на участках океанов, которые находятся на прямой, проходящей через центры Земли и Луны. На рисунке схематично (масштаб не соблюден для его наглядности) зоны прилива и отлива. Некоторые делают часто ошибку, считая, что на поверхности самой близкой наблюдается прилив, а на самой дальней отлив. Эти силы задолго до запусков спутников получили название приливных сил.  

 

  Падение тела в поле тяжести Земли, с учетом ее вращения. Рассмотрим падения тела на экваторе. Будем считать известной высоту, на которой тело отпустили с воздушного шара, который находился неподвижным относительно поверхности земли. Задачу будем решать в системе связанной с вращающейся Землей. На падающее тело кроме силы тяжести будут действовать силы инерции. Если пренебречь непостоянством гравитационной силой по высоте и силой сопротивления, то надо пренебречь и центробежной силой инерции. Все эти силы направлены по вертикали. По горизонтали есть только сила Кориолиса. Ее величина такого же порядка величины, как и те поправки, которые мы не будем учитывать. По вертикали поправки малы по сравнению с силой тяжести и мы можем ими пренебречь для получения несколько приближенного решения. По горизонтали нет сил, по сравнению с которыми мы могли бы пренебречь силой Кориолиса. Поэтому, если мы хотим рассмотреть эффекты, обусловленные вращением Земли, мы должны ее учесть.

Уравнение движения по вертикали при сделанных пренебрежениях останется таким же, как и в решениях задач без учета вращения Земли:

Время падения будет равно:

По горизонтали уравнение движения будет иметь вид:

Интегрируя, находим скорость и перемещение тела по горизонтальному направлению:

  

Таким образом, тело упадет в точку, которая будет смещена на восток от вертикали на расстояние равное:

При высоте 100м. смещение около двух сантиметров. Как видите, что считая Землю инерциальной системой, мы делаем совсем небольшую ошибку. При высоте в километры нельзя будет пренебречь сопротивление воздуха.

 

  Вес тела с учетом вращения Земли. Весом тела называют силу, с которой неподвижное тело растягивает нить, на которой оно подвешено, или давит на подставку, на которой оно лежит. На плюсах отсутствует центробежная сила инерции и на них вес тела равен:  

   

На экваторе вес тела минимален. Вычислим ускорение свободного падения для произвольной широты . На рисунке искажен масштаб величин. Грузик, подвешенный на нити, фактически находится в точке основания подставки, к которой привязан верхний конец нити. Поэтому при дальнейших вычислениях мы будем считать, что вектор  совпадает с линией радиуса Земли.     

 Из рисунка видно, что искомое ускорение является малой диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и  с известным углом  между этими сторонами треугольника. Следовательно, величина  вычисляется из теоремы Пифагора:

Преобразуем это выражения, учитывая малость поправки:

Таким образом, вес тела с учетом вращения Земли равен:

Ответ приближенный не только из-за отбрасывания малых членов, но и потому, что вычисления сделаны без учета того, что Земля насколько сплюснута, то есть экваториальный радиус больше полярного. Это искажение шарообразной формы также является следствием центробежных сил.

  

Замечания 1. Если при решении задачи вы переходите в другую систему координат, движущуюся относительно исходной (вне зависимости будет она инерциальной или нет) начальные условия также изменяются и не учет этого может повлечь ошибку в решении. Самый простой пример. Самолет летит горизонтально с постоянной скоростью, и с него сбрасывают бомбу. Если вы перейдете в систему, связанную с самолетом. Уравнение движения бомбы будут одинаковыми в обеих системах. Но в системе, связанной с землей, начальная скорость бомбы равна скорости самолета и ее траектория будет параболой. В систем, связанной с самолетом, ее начальная скорость будет равна нулю, и бомба будет двигаться по вертикальной прямой. Одинаковость закона движения совсем не означает одинаковость движения тела.

Второй пример. В вагоне, движущемся по горизонтальной поверхности, имеется маленький шарик, подвешенный на длинной невесомой нити. Шарику сообщили некоторую скорость. Шарик будет колебаться. Для талых колебаний вы знаете формулу для периода колебаний математического мятника. Он обратно пропорционален квадратному корню из ускорения свободного падения, в покоящемся вагоне. Период колебаний уменьшится, так как в формулу для периода при расчете в ускоренно движущемся вагоне надо вместо ускорения подставить эффективное , равное . Мы не будем подробнее разбирать здесь эту задачу, отложив ее до второй части пособия, специально посвященному механическим колебаниям.

Но если вы сформулируете вопрос задачи, не как найти период колебаний в ускоренно движущемся вагоне, а в другой формулировке (ниже), то она может оказаться некорректной и задачу без дополнительных условий нельзя будет решить. Например, такое условие. Шарик отвели так, что нить оставалась натянутой и составляла некоторый угол с вертикалью. Шарик отпустили, а вагон начал двигаться в тот же момент с ускорением . Как будет двигаться шарик? Условие задачи не корректно, так как шарик можно отвести на такой угол, что он будет покоиться.

 

Замечания 2. В конце семинара преподы обычно задают домашние задание. И пришла блестящая мысль последовать этой «дурной» привычке. Посему не пропустите написанную задачу ниже.  

 

Задание 1. В застрявшем лифте на подставке, прикрепленной к полу, качается маленький шарик на невесомом твердом стержне. В нижней точке шарик имеет такую кинетическую энергию, что максимальный угол отклонения равен . Ремонтники упустили трос и лифт начал падать с ускорением . В этот момент шарик находился в нижней точке. Сработало предохранительное устройство, и лифт резко остановился. В момент остановки шарик находился в верхней точке, стержень за время падения повернулся на угол . Найти максимальную энергию шарика в остановившемся лифте и объяснить причину ее изменения.  

Ждем ваших решений, пишите. Решите правильно, опубликуем. Не забудьте сообщить от кого решение.