Анализ статической устойчивости одномашинной энергосистемы без арв и контуров демпфирования.

    Предположим, что исследуемый устанавливающийся режим энергосистемы рассчитан, координаты (Р₀, δ ₀) изображающей точки а (рис. 2.7) соответственно определены, а электромеханические пере­ходные процессы описываются системой, представленной дифференци­альным и алгебраическим уравнениями:

                          

Рис. 2.7. Линеаризация угловой характеристики мощности в изображающей                             точке исследуемого режима.

    Представим угол δ как , где Δ δ - малое приращение уг­ла в окрестности точки а, и преобразуем левую часть дифференциаль­ного уравнения системы (1.81) с учетом этого равенства, приведя ее к виду:

    Из последнего равенства следует, что при линеаризации второй производной «в малом», достаточно дифференцируемую функцию за­менить ее малым линейным приращением. Это же справедливо для производных по времени любого порядка.

    В правой части рассматриваемого уравнения приращение ΔР₀ по­стоянной величины Р₀ равно нулю, а приращение переменной Р обо­значается как Δ Р, т.е.

 С учетом этих замечаний в результате линеаризации «в малом» первого уравнения системы (1.81) получим линейное уравнение:        

в котором в качестве переменных выступают не параметры режима Р и δ, а их малые линейные приращения Δ Р и   Δ δ.

    При линеаризации второго уравнения системы (1.81) следует не­линейную зависимость Р(δ) заменить линейной зависимостью Δ Р ( Δ δ) в окрестности точки а.

    Представим Р(δ) как Р (δ ₀ + Δ δ) и разложим в общем виде эту функцию в ряд Тейлора:

    Ограничимся рассмотрением линейной части этого ряда, из кото­рой вычтем значение функции Р (δ ₀ )=Р₀ в точке а. В результате полу­чим искомую зависимость Δ Р ( Δ δ):  или

    Отметим, что производная dP / dδ представлена в уравнении (1.86) своим численным значением в точке а и поэтому выступает здесь не как функция dP / dδ, δ = δ ₀, а как коэффициент линейной зависимости Δ Р ( Δ δ). Поэтому линейная зависимость вида (1.86) может быть получена и без предварительного разложения линеаризуемой функции в ряд Тейлора на основании рис. 2.7. Эта зависимость полностью соответствует формулам записи полного дифференциала функции, что позволяет формализовать и тем самым уп­ростить операции по линеаризации «в малом».

    Уравнения (1.83, 1.86) образуют искомую систему, которая при исключении переменной Δ Р приводится к одному уравнению:

    Этим уравнением описываются свободные колебания малого ли­нейного приращения Δ δ угла δ ротора генератора в окрестности рас­сматриваемой точки а (см. рис 2.7).

    Для выявления тенденции изменения переменной Δ δ рассмотрим варианты общего решения уравнения (1.88):    где С₁, С₂ - постоянные интегрирования, а р₁, р₂ - корни характеристи­ческого уравнения: определяемые как

    В случае, когда dP / dδ < 0 корни p ₁₂= ± α - вещественные, и общее решение представляет собой сумму двух экспоненциальных составляющих:

    Как видно, с течением времени t составляющая   возрастает, а сос-тавляющая   убывает (рис. 2.8).

    Рис. 2.8. Составляющие решения (1.92) уравнения (1.88).

    В целом же малое приращение Δ δ угла δ имеет тенденцию к воз­растанию, что является признаком неустойчивости энергосистемы. При этом нарушение устойчивости, то есть переход ротора генератора в асинхронный режим по отношению к генераторам приемной энергосистемы, происходит в виде «сползания» без периодических изменений уг­ла.

    Этот вид нарушения статической устойчивости называется апериодичес-ким или неустойчивостью по «сползанию».

    В случае, когда dP / dδ > О корни  - мнимые сопряженные, и общее решение (1.89) представляется в виде:

    В этом случае постоянные интегрирования С ₁и С ₂ являются ком­плексно-сопряженными величинами, то есть:               

    С учетом (1.94) на основе известного преобразования Эйлера ре­шение (1.93) может быть представлено в виде двух гармонических со­ставляющих:

         (1.95)

    Сделаем замену   и преобразуем решение (1.95)

к более удобному для анализа виду:

(1.96)

где  - частота свободных колебаний линейного приращения угла.

    Из (1.96) следует, что изменение малого линейного приращения угла происходит по закону незатухающих гармонических колебаний с постоянной амплитудой (рис. 2.9). Это свидетельствует об устойчиво­сти исследуемого установившегося режима, так как отсутствует тенден­ция к возрастанию амплитуды свободных колебаний рассматриваемого параметра режима.

         Таким образом, устойчивым режимам энергосистемы соответст­вует условие dP / dδ > О. Такой же результат был получен ранее на осно­ве логических рассуждений. Период Т возникающих при этом условии свободных колебаний линейного приращения угла определяется как:

(1.97)

 

                        Рис. 2.9. Решение (1.96) уравнения (1.88).

    При dP / dδ →0  имеем Т→∞. Следовательно, максимум угловой характеристики Р (δ) является границей перехода незатухающих сво­бодных колебаний малого линейного приращения угла к его апериоди­ческому возрастанию, указывающему на апериодическое нарушение статической устойчивости генератора.

    Следует отметить, что при учёте процессов в демпферных конту­рах и системе автоматического регулирования возбуждения генератора определение корней характеристического уравнения является весьма сложной задачей. При анализе устойчивости в таких случаях использу­ются методы, не требующие нахождения корней характеристического уравнения.

17. Линеаризация (от лат. linearis — линейный) — один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, либо для определенных процессов, причём, если система переходит с одного режима работы на другой, следует изменить и её линеаризированную модель. Применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и особенно количественные свойства нелинейной системы.

Методы линеаризации

1. Метод логарифмирования — применяется к степенным функциям;

2. Метод обратного преобразования — для дробных функций;

3. Комплексный метод — для дробных и степенных функций.