Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неинерциальные системы отсчета⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 15
ЛЕКЦИЯ № 13 Что такое силы инерции. Силы инерции при поступательном движении. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса Что такое силы инерции Законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета (см. лекцию 4, § 2). Неинерциальными являются системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно неинерциальных. Например, система отсче- та, связанная с Землей, является неинерциальной из-за вращения нашей плане- ты вокруг собственной оси и поступательного движения по эллипсу вокруг Солнца. Правда, этой неинерциальностью в первом приближении можно пре- небречь, но при более точных расчетах ее необходимо учитывать. Учет этот можно сделать, если проводить расчеты в инерциальной системе отсчета (на- пример, связанной с Солнцем – гелиоцентрической), либо добавить во второй закон Ньютона так называемые силы инерции и рассчитать движение тела в неинерциальной системе отсчета. Силы инерции не являются силами взаимодействия рассматриваемого те- ла с какими-либо другими телами, а добавляются во второй закон Ньютона для учета ускоренного движения неинерциальной системы отсчета. Поэтому их, в отличие от истинных сил, называют фиктивными силами. Поэтому понятно, что силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона. Обозначим через a, как и в предыдущих лекциях, ускорение материальной
w a a откуда .
(13.1)
ma ma
(13.2)
По второму закону Ньютона (4.4), произведение ma сумме всех истинных сил, действующих на тело, т.е.: равно F – векторной
тогда из (13.2) получим: ma F, ' F ma mw. (13.3) Выразим из (13.3) произведение массы материальной точки на ее ускоре- ' ние a в неинерциальной системе отсчета:
Введем величину:
' mw.
(13.4)
(13.5)
и назовем ее суммой сил инерции. Как видно, сумма сил инерции просто равна по величине и противоположна по направлению произведению массы тела на w – разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета. С учетом (13.5) выражение (13.4) будет иметь вид второго закона Ньютона, записанного в неинерциальной системе отсчета:
ma F F.
(13.6)
В отличие от второго закона Ньютона (4.4), в правую часть которого вхо- дят только истинные силы (т.е. силы, подчиняющиеся третьему закону Ньюто- на), в правой части выражения (13.6) находятся и фиктивные силы, или силы инерции.
§ 2. Силы инерции при поступательном движении системы отсчета Напомним, что поступательным называется такое движение, при котором любая линия, проведенная в теле, остается при его движении параллельной са- мой себе. Применительно к движущейся неинерциальной системе отсчета К это означает, что оси ее системы координат сохраняют при движении свое на- правление относительно осей координат инерциальной системы отсчета К. Иными словами, ускорение w, входящее в формулу (13.1), является величи- ной, не зависящей от положения материальной точки, и представляет собой ус- корение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной. ' В этом случае действующие на материальную точку силы инерции F Fин , в соответствии с (13.5), также будут одинаковыми в любом месте не- инерциальной системы отчета и не будут зависеть от скорости частицы: F (13.7)
Отметим, что если неинерциальная система отсчета движется поступа- тельно, но по криволинейной траектории, то ее ускорение можно разложить на две составляющие: нормальное wn и тангенциальное w (см. лекцию 3, § 1). Соответственно этому можно ввести две составляющие силы инерции: Fин
Рассмотрим пример, когда неинерциальная система отсчета движется прямолинейно с ускорением w относительно инерциальной. Выберем систе- мы координат так, чтобы оси х и были направлены вдоль ускорения w (рис. 13.1).
Из рис. 13.1 очевидно, что: x y . (13.9) z
Рис. 13.1 Продифференцировав равенства (13.9) дважды по времени, получим: d 2 x dt 2 ,
d 2 y dt 2 ,
d 2z
dt 2 d 2z dt 2 или, по (2.9а):
a x a x
w x,
.
Последнее равенство можно переписать в векторном виде:
a w. (13.10)
Пусть, например, материальная точка покоится в системе К, тогда ее ко- ординаты x, y, z постоянны, значит, ее ускорение в системе К:
Тогда из (13.10) следует, что в этом случае: a w,
т.е. для наблюдателя в системе рассматриваемая материальная точка дви- жется с ускорением a, направленным в сторону, противоположную ускоре- нию самой системы К. Скажем, Вы сидите в троллейбусе и смотрите из окна на лежащий на земле камень. Троллейбус трогается от остановки с ускорением
правленным противоположно ускорению троллейбуса w. Желая применить второй закон Ньютона в системе, связанной с троллейбусом, Вы запишите
a
и будете объяснять ускорение камня (в Вашей системе К!) действием фиктив- ной силы: F mw.
Теперь разберем другой пример с тем же троллейбусом. Пусть Вы стоите в пустом проходе троллейбуса, троллейбус трогается от остановки и начинает двигаться с ускорением F w. Вы чувствуете, что на Вас действует сила Mw, направленная в сторону, противоположную ускорению троллейбу- са. И, хотя эта сила фиктивная и не подчиняется третьему закону Ньютона (нельзя указать тело, являющееся источником этой силы!), под действием этой силы верхняя часть Вашего тела приобретет ускорение
(ноги удерживает сила трения!), и Вы вполне реально начинаете падать (относительно троллейбу- са). С точки зрения Вашего друга, наблюдавшего эту же ситуацию с остановки (в инерциальной системе К), на Вашу голову не действуют никакие силы, и она, по первому закону Ньютона, остается в покое относительно системы К (ос- тановки). А вот троллейбус уезжает от Вас вперед с ускорением. Ноги за счет силы трения приобретают ускорение падать! w, а голова пока в покое, и Вы начинаете
§ 3. Центробежная сила инерции Пусть Ваш троллейбус делает поворот по дуге радиуса R. И Вы опять чув- ствуете на себе действие силы инерции, которая тянет Вас от центра окружно- сти, по которой движется сейчас троллейбус. Эта сила инерции называется цен- тробежной силой инерции. Понять ее происхождение несложно. Введем опять две системы координат: инерциальную К и неинерциальную К. Оси z этих систем пусть совпадают и направлены из центра окружности, по которой дви- жется троллейбус, вверх. Оси x и y неподвижны относительно земли, а оси и поворачиваются вместе с троллейбусом Т (см. рис. 13.2). Причем угол поворота равномерно увеличивается с течением времени z с угловой скоростью ω t.
Рис. 13.2 Систему К будем считать инерциальной, а систему К – неинерциальной. Материальная точка (Ваше тело) в системе К движется по окружности ра- диусом R с ускорением a, направленным к центру этой окружности. Это уско- рение определяется, в соответствии формулой (7.7):
a . (13.11)
Вектор R на рис. 13.2 направлен от центра окружности к материальной точке, ускорение a направлено против вектора R. В инерциальной системе К, связанной с землей, причиной ускорения явля- ется сила F, с которой Вы тянете или толкаете себя, держась за какую-либо часть троллейбуса, к центру окружности. (Если Вам повезло и Вы сидите, то на Вас такая же сила действует со стороны кресла троллейбуса.) По второму закону Ньютона, в инерциальной системе К: ma F. С учетом (13.11) отсюда имеем:
mRω2 F. (13.12)
В неинерциальной системе Вы покоитесь, Ваше ускорение 0. Желая применить второй закон Ньютона в этой системе отсчета, Вы, чтобы по- лучить нулевое ускорение a, должны записать: ma F
так как a 0, то предыдущее уравнение переходит в следующее:
0 F (13.13)
т.е. в системе сумма сил должна быть равна нулю. В уравнении (13.13) F – реальная сила, – сила инерции. С учетом (13.12) из (13.13) для силы инерции F Fц.б. имеем: Fц.б. mω2R . (13.14)
Эту силу инерции называют центробежной силой инерции, так как она на- правлена от центра окружности (по вектору R, как следует из формулы (13.14) и из личного опыта каждого пассажира). Центробежная сила инерции не зависит от того, покоится ли тело в систе- ме или движется относительно нее с какой-то скоростью (скорость не входит в формулу (13.14)). При точных расчетах поведения тел в системе от- счета, связанной с Землей, нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе, где R = Rз = 6,38 106 м. Угловая скорость вра- щения Земли вокруг своей оси может быть найдена по формуле (7.9), куда в ка- честве периода Тз надо подставить количество секунд в сутках: Тз = 60 60 24 = 86400 с. С учетом этого имеем:
ωз 2π Tз 6,28 86 400 7,27 10 рад. c
На тело массой m = 1 кг на экваторе с учетом приведенных значений Rz и z действует, в соответствии с (13.14), центробежная сила инерции:
F ц.б.
1 7,27 10 5 2 6,38 106
0,0337 H,
что составляет 1/291 часть от силы тяжести, равной 9,81 Н. Сила тяжести mg
является равнодействующей гравитационной силы Fγ, направленной к центру Земли и центробежной силы инерции Fц.б., направленной перпендикулярно оси вращения Земли. В результате этого направление силы тяжести mg не сов- падает с направлением к центру Земли (за исключением экватора и полюсов). Величина ускорения свободного падения зависит от широты: на экваторе ми- нимальна гравитационная сила (из-за сплюснутости Земли с полюсов) и макси- мальна центробежная, в результате там значение g минимально и равно gэкв = 9,780 м/с2. На полюсах g максимально и равно gпол = 9,832 м/с2. § 4. Сила Кориолиса При движении тела во вращающейся системе отсчета, кроме центробеж- ной силы инерции, возникает еще одна, которую называют силой Кориолиса, или кориолисовой силой. Величина этой силы определяется формулой: F
здесь m – масса тела; к 2m v ω, (13.15) v – вектор скорости тела относительно вращающейся (неинерциальной) системы отсчета; ω – вектор угловой скорости вращения неинерциальной системы отсчета. Рассмотрим, как и в предыдущем параграфе, две системы отсчета К и К, оси z и которых совпадают с осью вращения системы относительно К. Пусть тело массой m неподвижно относительно инерциальной системы отсчета К. Тогда относительно системы оно будет двигаться по окружности радиуса R с линейной скоростью, которую можно найти с помощью формулы (7.4), если поставить там знак «минус»: v ωR . (13.16)
Рис. 13.3
Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Как мы знаем из предыдущего пара- графа, на тело массой m во вращающейся системе отсчета К, независимо от состояния его движени,я действует центробежная сила инерции, направленная, в соответствии с формулой (13.14), от центра окружности, по которой движет- ся тело: Fц.б. mω2R.
Но для движения по окружности необходима сила, направленная к центру этой окружности. Значит, кроме центробежной силы инерции, на наше тело должна в системе действовать еще одна сила, направленная, в нашем случае, против центробежной. Векторная сумма этих сил должна обеспечить центрост- ремительное ускорение этому телу: a aц.с. Rω2
. (13.17)
Этой второй фиктивной силой в нашей системе отсчета и является сила Кориолиса Fк. Действительно, в соответствии с (13.15), Fк направлена (в соот- ветствии с правилом правого винта) к центру окружности. Ее модуль, с учетом (13.16) и (13.15), равен: 2 Fк 2mω R. Вычитая из силы Кориолиса центробежную, равную m 2R, получим рав- нодействующую, направленную к центру окружности и равную: F Fк Fц.б. 2mω2R mω2R mω2R. В векторном виде: F -mω2R. (13.18) Если мы желаем применить второй закон Ньютона в неинерциальной сис- теме отсчета, то мы должны сумму всех сил, включая и фиктивные, приравнять
к массе тела, умноженной на его ускорение a aц.c.. Так как тело покоилось в системе К, то сумма реальных сил F 0, тогда: ma . 13.19) Подставляя (13.17) и (13.18) в (13.19), видим, что - векторная сумма си- лы Кориолиса и центробежной силы сообщают телу центростремительное ус- корение. Действительно: mRω2 mω2R. Вывод формулы (13.15) достаточно сложен, и мы его не приводим. Разо- бранный пример прост и убедительно показывает правильность формулы (13.15). Сила Кориолиса играет исключительно важную роль при движении боль- ших потоков океанических вод и атмосферного воздуха на нашей планете. Силу Кориолиса должны учитывать артиллеристы и ракетчики при стрельбе на даль- ние расстояния. Эта же сила приводит к тому, что у рек в северном полушарии подмывается всегда правый берег (например, крутые правые берега у Оби), в южном – левый.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 13 1. Для использования второго закона Ньютона в неинерциальных системах отсчета надо, кроме истинных сил, учитывать фиктивные силы или силы инер- ции. 2. Силы инерции не являются силами взаимодействия, поэтому не подчи- няются третьему закону Ньютона. 3. Суммарная сила инерции , действующая на тело массой m в неинер- циальной системе отсчета, равна по величине и противоположна по направле- нию произведению массы тела на w разность ускорений материальной точки по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета, т.е. п (13.5): mw, где w определяется в соответствии с (13.1):
w a
4. При поступательном движении неинерциальной системы отсчета отно-
сительно инерциальной силы инерции F Fин одинаковы в любом месте не- инерциальной системы и не зависят от скорости движения частицы, их величи- на определяется формулой (13.7): Fин mw,
где w – ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциаль- ной. 5. Во вращающейся системе отсчета действуют центробежные силы инер- ции и силы Кориолиса. 6. Величина центробежной силы инерции тицы и определяется формулой (13.14): Fц.б. не зависит от скорости час- Fц.б. mω2R, где - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета относи- тельно инерциальной; R – расстояние от материально точки массой m до оси вращения. 7. Сила Кориолиса F к действует на частицу массой m, движущуюся со скоростью относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся со скоростью ω (см. (13.15)): F к 2m v / ω. Направление силы Кориолиса перпендикулярно векторам и ω и опре- деляется по правилу правого винта.
Учебное издание Тюшев Александр Николаевич Вылегжанина Вера Дмитриевна
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
Часть 1 Механика Пособие для студентов 1 и 2 курсов
Ответственный редактор: Серегин Г.В. Редакторы: Деханова Е.К. Шилова Л.Н.
Изд. лиц. № ЛР 020461 от 04.03.1997. Подписано в печать 30.04.03. Формат 60 84 1/16 Печать цифровая Усл. печ. л. 6.68. Уч.-изд. л. 6.85. Тираж 100 Заказ Цена договорная
Гигиеническое заключение № 54.НК.05.953.П.000147.12.02. от 10.12.2002.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 73; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.85.200 (0.212 с.) |