Тема. Определение многогранника

Тема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА

И ЕГО ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Вопросы темы:

Определение многогранника.

Основные элементы многогранника.

Правильные многогранники.

4. Домашнее задание.

Вопрос 1. Определение многогранника

Дадим понятие многогранника как геометрической фигуры, составленной из плоских геометрических фигур:

Многогранник ( полиэдр: поли – много, эдр - грань ) – совокупность конечного числа плоских многоугольников, где:

Дадим еще одно определение многогранника с точки зрения стереометрии, как объемной геометрической фигуре в пространстве.

Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Например, два простейших вида многогранников:

1. Треугольная пирамида, которая носит название тетраэдр.

Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная

из четырех (тетра) треугольников:

АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

 

Рис. 1

 

2. Четырехугольная призма, которая носит название параллелепипед.

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов:

АВС D, A 1 B 1 C 1 D 1,

AA 1 D 1 D, BB 1 C 1 C,

AA 1 B 1 B, DD 1 C 1 C, (Рис. 2).

рис. 2

Вопрос 2. Основные элементы многогранника

 

Основные элементы многогранника:

Грань многогранника – это любой из многоугольников, составляющих многогранник.

Ребро многогранника – это любая из сторон грани многогранника.

Вершина многогранника – это точка пересечения соответствующих ребер многогранника.

 

Рассмотрим, какими основными элементами характеризуются представленные в Вопросе 1 многогранники тетраэдр и параллелепипед.

 

1. Основные элементы тетраэдра (пирамиды) ABCD

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

2. Основные элементы

параллелепипеда (призмы) ABCDA₁B₁C₁D₁

 

Грани: параллелограммы

АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА ₁, ВВ ₁, СС ₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Вопрос 3. Правильные многогранники

В вопросе «Правильные многогранники» открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами.

Ни одни геометрические тела не обладают такими совершенством и красотой, как правильные многогранники.

«Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Определение правильного многогранника:

Многогранник называется правильным, если:

1. Многогранник выпуклый;

Правильный тетраэдр

Правильный гексаэдр (куб)

Правильный октаэдр

Правильный гексаэдр

Правильный додекаэдр

Факт существования только пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

 

Формами правильных многогранников обладают природные кристаллы.

Как известно, правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ:

- куб – монокристалл поваренной соли (NaCl),

- октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO₄)₂·l2H₂O).

- додекаэдр древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS).

Где еще можно увидеть эти удивительные тела?

- икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов – феодарий.

Геометризацию тела применяет сама природа: например, икосаэдр имеет наибольший объем, но при этом, наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

На рассмотренных примерах мы увидели, что правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

 

Домашнее задание

Определение многогранника