Если возвести обе части уравнения

     (1)

в натуральную степень , то уравнение

         (2)

является следствием уравнения (1).

Доказательство.

- Если выполняется числовое равенство  , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

 

- Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

 

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств  и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение  равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида

При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2.       

Ответ:

Решение уравнений с использованием замены переменной

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1.  

Пусть

тогда исходное уравнение примет вид: , корни которого   и

Решая уравнение ,

 получаем   и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования

.

Замена    приводит уравнение к виду:

корнями которого являются   и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

 

Ответ:

Метод разложения на множители выражений,

Входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

 

Пример 1.

При  уравнение принимает вид:  которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего, а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

 

Корень уравнения  т.е. число  при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение  не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ: